早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA | 【早慶専門対策】個別指導塾ヒロアカ

2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問3

2019.09.24

方針の立て方 (1) 実際にを求めていくことで解答を得られる． (2) 前問での議論で，には周期性があることが分かる．更に，大事なのはとのなす角であることも分かるだろう(もし前問の議論だけでは方針を得られない場合には，他の具体的な組み合わせで考えてみると良い)．そこで，とのなす角で場合分けをして議論

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方針の立て方
(1)
実際に $\mathrm{A}_n$

を求めていくことで解答を得られる．

(2)
前問での議論で， $\mathrm{A}_n$ には周期性があることが分かる．更に，大事なのは $\mathrm{O}\mathrm{A}_1$ と $\mathrm{O}\mathrm{A}_2$ のなす角であることも分かるだろう(もし前問の議論だけでは方針を得られない場合には，他の具体的な組み合わせで考えてみると良い)．そこで， $\mathrm{O}\mathrm{A}_1$ と $\mathrm{O}\mathrm{A}_2$ のなす角で場合分けをして議論していけば良いと判断する．

解答例
(1)

(ⅰ)と(ⅱ)に従って $\mathrm{A}_n$ を求めていくと，上図のようになる．
上図より $\mathrm{A}_{15}=\mathrm{P}_3$ であるから，求める $k$ は $k=3$ ……(答)

(2)
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_k$ として，前問の議論( $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2\right)$ のとき)をまとめると，下表のようになる．

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$\cdots$
$k$	$1$	$2$	$9$	$4$	$5$	$3$	$7$	$8$	$6$	$1$	$2$	$9$	$4$	$5$	$3$	$\cdots$

これより， $k$ の値は $1,2,9,4,5,3,7,8,6$ という周期9の並びを繰り返すことが分かる．
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1$ となる $n$ が存在するため $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2\right)$ は題意を満たさない．
以下， $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_i,\mathrm{P}_j\right)$ として， $i<j$ のみを考える．更に $\mathrm{O}\mathrm{P}_i$ と $\mathrm{O}\mathrm{P}_j$ のなす角の内，小さい方を $\theta_{ij}$ と表す．
(Ⅰ) $\theta_{ij}=\frac{2\pi}{9}$ となる $i,j$ のとき
実際に $\mathrm{A}_n$ を求めていくと， $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2\right)$ のときのように $k$ の値は周期9の並びを繰り返し， $k$ は1から9の全ての値をとる．よって，題意を満たさない．
(Ⅱ) $\theta_{ij}=\frac{4\pi}{9}$ となる $i,j$ のとき
実際に $\mathrm{A}_n$ を求めていく．例えば $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_3\right)$ の場合，

上図のようになる．
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_k$ としてまとめると，下表のようになる．

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$\cdots$
$k$	$1$	$3$	$8$	$7$	$9$	$5$	$4$	$6$	$2$	$1$	$3$	$8$	$\cdots$

これより， $k$ の値は $1,3,8,7,9,5,4,6,2$ という周期9の並びを繰り返すことが分かる．
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1$ となる $n$ が存在するため $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_3\right)$ は題意を満たさない．また，他の $i,j$ についても同様に題意を満たさない．
(Ⅲ) $\theta_{ij}=\frac{6\pi}{9}$ となる $i,j$ のとき
実際に $\mathrm{A}_n$ を求めていく．例えば $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_4\right)$ の場合，

上図のようになる．
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_k$ としてまとめると，下表のようになる．

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\cdots$
$k$	$1$	$4$	$7$	$1$	$4$	$7$	$\cdots$

これより， $k$ の値は $1,4,7$ という周期3の並びを繰り返すことが分かる．
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1$ となる $n$ が存在しないため $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_4\right)$ は題意を満たす．また，他の $i,j$ についても同様に題意を満たす．
$\theta_{ij}=\frac{6\pi}{9}$ となる $i,j$ の組み合わせは $\left(i,j\right)=\left(2,5\right),\left(2,8\right),\left(3,6\right),\left(3,9\right),\left(5,8\right),\left(6,9\right)$ であり，これら6組は題意を満たす．
(Ⅳ) $\theta_{ij}=\frac{8\pi}{9}$ となる $i,j$ のとき
実際に $\mathrm{A}_n$ を求めていく．例えば $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_5\right)$ の場合，

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$\cdots$
$k$	$1$	$5$	$9$	$4$	$8$	$3$	$7$	$2$	$6$	$1$	$5$	$9$	$\cdots$

これより， $k$ の値は $1,5,9,4,8,3,7,2,6$ という周期9の並びを繰り返すことが分かる．
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1$ となる $n$ が存在するため $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_5\right)$ は題意を満たさない．また，他の $i,j$ についても同様に題意を満たさない．
以上，(Ⅰ)～(Ⅳ)より，題意を満たす $i,j$ の組み合わせは $i>j$ の範囲でも題意を満たす $i,j$ の組み合わせは6組あるので，求める個数は $6+6=12$ 個……(答)

2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問2

2019.09.24

方針の立て方 (1) 試しにを書き下すと解答が得られる．このときに分母を2で割った値が大事になることや，分母が奇数のときにはもう議論を続ける必要がないことが分かるだろう． (2) 前問の議論を一般化して考える．前問の議論で，分母が偶数であるときには，その分母の数字を2で割った値が大事になり，分母が奇

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方針の立て方
(1)
試しに $a_1\left(\frac{i}{12}\right),a_2\left(\frac{i}{12}\right),a_3\left(\frac{i}{12}\right),\cdots\cdots$ を書き下すと解答が得られる．このときに分母を2で割った値が大事になることや，分母が奇数のときにはもう議論を続ける必要がないことが分かるだろう．

(2)
前問の議論を一般化して考える．前問の議論で，分母が偶数であるときには，その分母の数字を2で割った値が大事になり，分母が奇数になったときに議論が終了することから， $x$ に素因数2が何個含まれているかがカギになると見抜きたい．後は前問のように場合分けして考えていくことを考えれば，解答が得られる．

解答例
(1)
$i=1,2,\cdots\cdots,11$ として，
$a_1\left(\frac{i}{12}\right)=\frac{i}{12}\neq0$

ここで， $a_4\left(\frac{i}{12}\right)$ について考えると，

となる．ここで， $\frac{2i}{3},\frac{2\left(i-3\right)}{3},\frac{2\left(i-6\right)}{3},\frac{2\left(i-9\right)}{3}$ は全て整数とはならない．一方で $\left[\frac{2i}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-3\right)}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-6\right)}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-9\right)}{3}\right]$ は全て整数である．よって， $\frac{2i}{3}-\left[\frac{2i}{3}\right],\frac{2\left(i-3\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-3\right)}{3}\right],\frac{2\left(i-6\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-6\right)}{3}\right],\frac{2\left(i-9\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-9\right)}{3}\right]$ は全て0とはならない．
同様に， $a_5\left(\frac{i}{12}\right),a_6\left(\frac{i}{12}\right),\cdots\cdots$ でも $i=1,2,4,5,7,8,10,11$ のときは0とはならない．
よって， $i=3,6,9$ のみが(＊)を満たす．
$\therefore S_{12}=\left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right\}$ ……(答)

(2)
前問の議論を応用すれば， $x$ が有理数で分母が偶数(ある自然数 $m$ を用いて $2m$ と表す)であるとき $a_2\left(x\right)$ は $i=m$ で0となる．その後は $i=1,2,\cdots\cdots,m-1$ と $i=m+1,m+2,\cdots\cdots,n-1$ で場合分けして同様の議論が繰り返せる．この議論は， $a_k\left(x\right)$ の分母が奇数となるまで続く．
よって， $x$ が有理数で分母を素因数分解したときに $2^l$ ( $l$ は0以上の整数)を含む場合， $a_2\left(x\right)=0$ となる $i$ は1個あり， $a_3\left(x\right)=0$ となる $i$ は( $a_2\left(x\right)=0$ となる $i$ を除くと)2個あり， $a_4\left(x\right)=0$ となる $i$ は( $a_3\left(x\right)=0$ となる $i$ を除くと)4個あり，……， $a_{l+1}\left(x\right)=0$ となる $i$ は( $a_l\left(x\right)=0$ となる $i$ を除くと) $2^{l-1}$ 個ある．なお， $a_{l+2}\left(x\right)=0$ となる $i$ は $a_{l+1}\left(x\right)=0$ となる $i$ を除くと存在しない．
よって，(＊)を満たす $i$ は $\sum_{k=0}^{k=l-1}2^k=2^l-1$ 個存在する．
そして(＊)を満たす有理数は， $\frac{i}{2^l}$ ( $i=1,2,\cdots\cdots,2^l-1$ )である．
よって， $T$ の要素の個数は，1から2018の中で素因数に2を最も多く含むもののを考え，その数の素因数2の個数を $m$ 個とすれば， $2^m-1$ 個である．
$2^m\leqq2018$ を満たす最大の $m$ は $m=10$ である．
よって求める個数は，
$2^{10}-1=1023$ 個……(答)

2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問1

2019.09.24

方針の立て方 (1) まずは，扱いにくい絶対値記号を外す．の正負で場合分けを行えばよい．絶対値を外せば，方程式は1次方程式になる．方程式のまま解析しても良いが，「方程式の解に関する解析は方程式の左辺(0でない方)を関数でおいて軸との交点で考える」という王道手段を本解では採用した． (2) 整数問題

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方針の立て方
(1)
まずは，扱いにくい絶対値記号を外す． $x-1$ の正負で場合分けを行えばよい．
絶対値を外せば，方程式は1次方程式になる．方程式のまま解析しても良いが，「方程式の解に関する解析は方程式の左辺(0でない方)を関数でおいて $x$ 軸との交点で考える」という王道手段を本解では採用した．

(2)
整数問題の典型問題である．素数の累乗のため約数に持ち込む(積の形に持ち込む)と都合が良いと考え因数分解を行う．

(3)
「 $P\left(x\right)$ が整式である」という情報をどう盛り込むかを考える．できることなら $P\left(x\right)$ を具体的に書き下したいが，その際に次数が分かっていないのがネックになるため，まずは次数を求めることに専念する．次数が求まれば，後は具体的に $P\left(x\right)$ を書き下して，計算するのみ．

(4)
このような抽象的な関数の問題では，数式の意味を考えると良い．例えば $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ は「引数の符号を反転させると，関数値の符号が反転する」ことを意味していると考える．すると， $1-x$ の符号を反転させれば， $f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)$ は引数 $x$ の係数の符号が揃い， $f\left(x+m\right)=f\left(x\right)$ に近づくと考える．
次に $f\left(x+1\right)=-f\left(x-1\right)$ は「引数が2上下すると，関数値の符号が反転する」ことを意味していると考える．すると「引数が4上下すると，関数値の符号は同じになる(2回反転して元に戻る)」と分かり，答えにたどり着く．解答では，この当たりを厳密に数式で処理しているが，本番では途中経過を求められないで，このような定性的な議論で十分だろう．

解答例
(1)ア： $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$
(2)イ： $\left(17,2,6\right)$
(3)ウ： $3x$
(4)エ： $4$

解説
(1)
$x\geqq1$ のとき
方程式は，
$\left(1-a\right)x+k^2+ak-3=0$
となる．ここで， $f_1\left(x\right)=\left(1-a\right)x+k^2+ak-3$ とおく．
$x<1$ のとき
方程式は，
$\left(-1-a\right)x+k^2+ak-1=0$
となる．ここで， $f_2\left(x\right)=\left(-1-a\right)x+k^2+ak-1$ とおく．
さらに，
$g\left(x\right)=\begin{cases} f_1\left(x\right)\ \left(x\geqq1\right) \\ f_2\left(x\right)\ \left(x<1\right) \end{cases}$
とおく．ここで， $g\left(x\right)$ は $x=1$ で連続であることに注意．
(Ⅰ) $\begin{cases} 0<1-a \\ 0<-1-a \end{cases}\Leftrightarrow a<-1$ のとき
関数 $y=f_1\left(x\right)$ も $y=f_2\left(x\right)$ も傾き正の一次関数であるから， $g\left(x\right)$ は $-\infty$ から $+\infty$ の値を取り得る．よって， $k$ の値によらず $g\left(x\right)=0$ となる $x$ は存在する．
(Ⅱ) $\begin{cases} 0>1-a \\ 0>-1-a \end{cases}\Leftrightarrow 1<a$ のとき
関数 $y=f_1\left(x\right)$ も $y=f_2\left(x\right)$ も傾き負の一次関数であるから， $g\left(x\right)$ は $-\infty$ から $+\infty$ の値を取り得る．よって， $k$ の値によらず $g\left(x\right)=0$ となる $x$ は存在する．
(Ⅲ) $\begin{cases} 0\leqq1-a \\ 0\geqq-1-a \end{cases}\Leftrightarrow-1\leqq a\leqq1$ のとき
関数 $y=f_1\left(x\right)$ は傾き0以上の一次関数で，関数 $y=f_2\left(x\right)$ は傾き0以下の一次関数である．よって， $g\left(x\right)$ の最小値は $x=1$ のときで $g\left(1\right)=k^2+ak-2-a$ である．なお最大値は存在しない．
よって $a$ の値に依らず解が存在するには全ての $a$ に対して $g\left(1\right)\leqq0$ であれば必要十分．
$g\left(1\right)\leqq0\Leftrightarrow k^2+ak-2-a\leqq0\Leftrightarrow\left(k-1\right)a+k^2-2\leqq0$ ……(＊)
$-1\leqq a\leqq1$ に気を付けると，

となるから，(＊)の条件式は，

となる．よって求める最大値は $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$ ……(答)

(2)
$225=3^2\cdot5^2={15}^2$ より，
$a^2=b^n+225\Leftrightarrow\left(a-15\right)\left(a+15\right)=b^n$
となる．この式より， $a-15$ と $a+15$ は $b^n$ の約数となることが分かる．また， $b$ は素数であることから， $b^n$ の約数は $1,b,b^2,\cdots\cdots,b^n$ である．よって，
$\begin{cases} a-15=b^k \\ a+15=b^{n-k} \end{cases}$
と書ける．ここで， $k$ は0以上の整数であり， $a-15<a+15$ より $k<n-k\Leftrightarrow2k<n$ を満たす．
両辺の差を取ると，
$30=b^{n-k}-b^k=b^k\left(b^{n-2k}-1\right)$
となる．この式より， $b^k$ と $b^{n-2k}-1$ は30の約数となることが分かるが， $b$ が素数であることを加味すれば， $b^k$ と $b^{n-2k}-1$ の考えられる組み合わせは
$\left(b^k,b^{n-2k}-1\right)=\left(1,30\right),\left(2,15\right),\left(3,10\right),\left(5,6\right)$
の4つ．この内，整合性が取れるのは， $\left(b^k,b^{n-2k}-1\right)=\left(2,15\right)$ のみであり，解くと，
$\left(b,k,n\right)=\left(2,1,6\right)$
となる．これを $a-15=b^k$ に代入すれば， $a=17$ と分かる．
$\therefore\left(a,b,n\right)=\left(17,2,6\right)$ ……(答)

(3)
$P\left(x\right)$ を $n$ 次の多項式( $n$ は自然数)とすると，(左辺) $=\int_{0}^{x}\left\{P\left(t\right)\right\}^mdt$ は $nm+1$ 次の多項式となる．
一方で，(右辺) $=P\left(x^3\right)-P\left(0\right)$ は $3n$ の多項式である．
左辺と右辺の次数は等しいため，
$nm+1=3n\Leftrightarrow n=\frac{1}{3-m}$
となる． $n$ が自然数であるため $\frac{1}{3-m}$ も自然数であり， $m=2$ であれば必要十分．また，そのとき $n=1$ である．
よって， $P\left(x\right)$ は1次多項式であるから，0でない実数 $a$ と実数 $b$ を用いて，
$P\left(x\right)=ax+b$
と表せる．
$\int_{0}^{x}\left\{P\left(t\right)\right\}^mdt=\int_{0}^{x}\left\{at+b\right\}^2dt=\left[\frac{1}{3}a^2t^3+abt^2+b^2t\right]_0^x=\frac{1}{3}a^2x^3+abx^2+b^2x P\left(x^3\right)-P\left(0\right)=\left(ax^3+b\right)-b=ax^3$
より，両辺の係数比較をすると， $a\neq0$ に注意して，
$\begin{cases} \frac{1}{3}a^2=a \\ ab=0 \\ b^2=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=3 \\ b=0 \end{cases}$
$\therefore P\left(x\right)=3x$

(4)
$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$ で， $x$ に $1-x$ を代入すると，
$f\left(1-x\right)=-f\left(x-1\right)$
が言える．
$\therefore f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)\Leftrightarrow f\left(x+1\right)=-f\left(x-1\right)$ ……(＊)
更に，(＊)で $x$ に $x-2$ を代入すると，
$f\left(x-1\right)=-f\left(x-3\right)$
となるから，(＊)の右辺に代入すると
$f\left(x+1\right)=f\left(x-3\right)$
さらに，この式で $x$ に $x+3$ を代入すると，
$f\left(x+4\right)=f\left(x\right)$
となる．よって，求める $m$ の最小値は4……(答)

エディット(EDIT)スタディとHIRO ACADEMIAの徹底比較|評判、システム、授業料について

2019.09.24

MARCH合格保証という独創的なキャッチコピーをあげている塾ですね。基本的にはMARCHの合格を目指していくスタイルで、あわよくば早慶を狙っていくスタイルです。そのシステムとはダイエットスタディさんのシステムを詳しくお伝えしていきたいと思います。特徴　その1　同一レベルの集団授業 10人程度

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MARCH合格保証という独創的なキャッチコピーをあげている塾ですね。
基本的にはMARCHの合格を目指していくスタイルで、あわよくば早慶を狙っていくスタイルです。
[toc]
そのシステムとは

ダイエットスタディさんのシステムを詳しくお伝えしていきたいと思います。

特徴　その1　同一レベルの集団授業

10人程度の少人数でかつ同じレベル感の生徒で実施していきます。
集団というのは通常レベルがバラバラになりますから、このようなシステムであればおいて行かれずにすみますね。

特徴　その2　カリキュラムの基本は英語長文に特化

カリキュラムの基本は英語長文に特化しているようです。中学レベルからの生徒であれば大抵英語でつまづいていますし、マーチでの得点を考えるのであれば、これは妥当な戦略と言えるでしょう。さすがにどんな生徒でも英語に時間を全振りしていればできないことはありませんからね。
また、文法や社会科目については進度管理はするようで、この点は安心ですね。

特徴　その3　MARCHに受からない場合は授業料免除

MARCHに受からない場合は、翌年度の授業料が免除になるそうです。これは画期的ですね。受験において大事なのは基礎です。
基礎を2年受けることができるのであれば、たとえ1年目に受からなくても、翌年受かる可能性はあるでしょう。

評判、口コミは？

独自の合格マインドという授業も行なって、途中で折れない精神を作る授業などがあり、受講生の満足度はかなり高いようです。
これだけのことを行なってMARCHへの合格保証もあるのだから、満足度は高くなりますよね！

ただ基本的にクラスの先生が全ての教科を見るそうなので、この点はやや大変そうな印象を受けました。

料金は？

浪人生の場合は年間97万円。月額9万円程度です。浪人生の場合は年間86万円となっています。

こういった人におすすめ

なかなか自分では勉強ができない人や英語を特に苦手で基礎からやり直していきたい人にとってはオススメの塾です。

ダイエットスタディとHIRO ACADEMIAとの比較

ダイエットスタディという素晴らしい塾がある中で恐縮ですが、私たちの塾(HIRO ACADEMIA)との比較をしていきますね。塾選びの参考になりますと幸いです。

違う点1 完全1対1の授業がある

授業をすることで実施している参考書の理解度を深めていきます。

自分一人で参考書をやっていると自己満足しがちな勉強に陥ってしまいます。このような状況ですと、どんだけ参考書を行っても成績を上げることができません。

こうした問題を解決するため当塾では、完全一対一で個別指導を実施しています。

また参考書を実施しているだけだとどこを重点的に行えば良いのか？、参考書に載っていない答が出た際にどのように対応すれば良いのか？ということに困ってしまいます。

こうした問題を解決する際にも、授業で解決していきます。

違う点2 塾内の模試がある

当塾では、大手予備校で実施される模試に加えて、当塾独自で模試を実施しています。

大手予備校で実施される模試ですとなぜ間違えたのか？、などの分析を自分でしていくことになりますが、多くの場合うまくその模試をいかすことができていません。

当塾で実施する模試については、どのように模試を活用するかのフォローアップも最後までしていきます。

また、この模試の結果を踏まえて、普段の指導にあてていきます。

違う点3 月1での集団での補講

個別だと生徒一人一人に合わせるため進路が独りよがりになりがちです。
また、復習がたまってしまったりと問題が発生してしまいます。
そうした、問題を解消すべく当塾では月に一度補講の日程を用意しております。

そのためいつまでたってもできるようにならない・・・という問題を解消できます。

違う点4 記述力、考える力に力点を置いている

当塾では記述力や日々の自分の勉強を振り返っていくという点を重要視しています。

具体的には毎日の勉強を終わった後に振り返りをしてもらったり、日々の計画表を自分自身で立てたりすることです。書く力や考える力というのは伸ばしづらいのですが、このように自分のことを考えることによって、かんがえる力を伸ばしていきます。

このような考える力や記述力は短期的には目に見えないものですが、長期にわたって、自身の学力や考える力を上げることができるのです。

特にこれからの入試のことを考えるのであれば、考える力は必要不可欠です。こうした力なしで大学入試を迎えることはできません。

当塾ではこうした力を鍛えていくために、考える力の指導を行っています。

違う点5 夏、冬で合宿の実施

当塾では、夏と冬に合宿を行っています。　一日中生徒と一緒にいてどのように勉強をしていくのか？ムダな勉強の仕方はないか？という点を細かく確認していきます。

合宿について詳しくはこちらをご確認ください。

2019-20年冬季合宿
 2019夏季合宿
 2018-19年冬季合宿
 2018夏季合宿

当塾の料金は？

多くの塾生が選択する早慶ダブルコースが78,000円(税別)となっています。
プラスで小論文の授業をつけたり、自分の苦手な科目の授業を追加でお願いする生徒も多いです。

当塾のデメリットとは？

当塾は他の大手の塾さんとは違って、できてから10年程度の比較的新しい塾です。そのため、大手の塾さんと比べて、至らない点があるかもしれません。

その点は事前にご了承ください。

早慶受験でお困りであればまずはカウンセリングへ

ただその分生徒の距離感は他の塾よりも近く、ちょっとした相談もしやすい環境となっております。塾に行っても質問ができない・・何をしていいか困っているなど、ご相談がありましたらお気軽にこちらより相談してください。

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2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問6

2019.09.23

方針の立て方 (1)(2)ともに，ケース1～4のどのケースが適用されるのかが直観的に分からないため，「仮にこのケースが適用されるなら」と考えて，ケース1から順番に代入していく．このような既存の分野にとらわれない新傾向の出題はSFCや商学部で多く見られるが，これら新傾向問題の攻略法は地道に片っ端から試

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方針の立て方
(1)(2)ともに，ケース1～4のどのケースが適用されるのかが直観的に分からないため，「仮にこのケースが適用されるなら」と考えて，ケース1から順番に代入していく．このような既存の分野にとらわれない新傾向の出題はSFCや商学部で多く見られるが，これら新傾向問題の攻略法は地道に片っ端から試してみることにある．そのまま代入したり試行したりすることで答えまで至る今回のような問題もあれば，途中で規則性に気付いて解答する問題もある．どちらにせよ，分からなかったら試してみるということを心がけよう．

解答例
(85)(86)(87)……060
(88)(89)(90)……180
(91)(92)(93)……150
(94)(95)(96)……200
(97)(98)(99)……035
(100)(101)(102)……035
(103)(104)(105)……050
(106)(107)(108)……140

解説
(1)
〇 $A$ の範囲((85)～(90)について)
ケース1が適用されるなら， $A\leqq\frac{2}{2}\cdot60=60$ が必要で， $X_1=30$ となるには， $A=60$ が必要．
ケース2が適用されるなら， $k=1$ となるから， $\frac{1}{2}\cdot240-\frac{1}{2}\cdot120\leqq A\leqq\frac{1}{2}\cdot240-\frac{1}{2}\cdot0\Leftrightarrow60\leqq A\leqq120$ のとき $X_1=\frac{1}{2}B_1=30$ となるため， $60\leqq A\leqq120$ が必要となる．
ケース3が適用されるなら， $k=1$ となるから， $\frac{1}{2}\cdot240+\frac{1}{2}\cdot0\leqq A\leqq\frac{1}{2}\cdot240+\frac{1}{2}\cdot120\Leftrightarrow120\leqq A\leqq180$ のとき $X_1=\frac{1}{2}B_1=30$ となるため， $120\leqq A\leqq180$ が必要となる．
ケース4が適用されるなら， $240-\frac{2}{2}\cdot60\leqq A\Leftrightarrow180\leqq A$ のとき $X_1=60-\frac{1}{2}\left(240-A\right)$ となるため， $X_1=30$ となるには $A=180$ が必要となる．
以上より， $60\leqq A\leqq180$ ……(答)
〇 $X_2$ が $X_1$ の4倍となるとき((91)～(96)について)
ケース1が適用されるなら， $X_1=X_2=\frac{A}{2}$ より，満たす $A$ は存在しない．
ケース2が適用されるなら， $k=1$ であり， $60\leqq A\leqq120$ のもとで， $X_1=30,X_2=\frac{1}{2}\cdot60+\frac{1}{1}\cdot\left(A-\frac{1}{2}\cdot240+\frac{1}{2}\cdot120\right)=-30+A$ より， $X_2=4X_1$ となる $A$ は存在しない( $A=150$ となり， $60\leqq A\leqq120$ に抵触)．
ケース3が適用されるなら， $k=1$ であり， $120\leqq A\leqq180$ のもとで， $X_1=30,X_2=180-\frac{1}{2}\cdot60-\frac{1}{1}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot240+\frac{1}{2}\cdot120-A\right)=-30+A$ より， $X_2=4X_1$ となる $A$ は $A=150$ ．
ケース4が適用されるなら， $180\leqq A$ のもとで， $X_1=\frac{1}{2}A-60,X_2=180-\frac{1}{2}\left(240-A\right)=60+\frac{1}{2}A$ より， $X_2=4X_1$ となる $A$ は $A=200$ ．
以上より， $A=150,200$ ……(答)

(2)
ケース1が適用されるなら， $A\leqq\frac{3}{2}\cdot60\Leftrightarrow A\leqq90$ が必要だが， $A=100$ も $A=220$ もこの範囲にない．
ケース2が適用されるなら，

が必要となる． $A=100$ は $90\leqq A\leqq120$ の範囲内であるから， $k=1$ とした式が成り立ち，
$X_1=30,X_2=12⋅60+12100-12⋅330+1230+120=35,X3=35$ となる．……(答)
ケース3が適用されるなら， $k=1$ に対して $\frac{1}{2}\cdot330+\frac{1}{2}\cdot90\leqq A\leqq\frac{1}{2}\cdot330+\frac{1}{2}\left(30+120\right)\Leftrightarrow210\leqq A\leqq240$ が必要となる． $A=220$ は $210\leqq A\leqq240$ の範囲内であるから， $k=1$ とした式が成り立ち，
$X_1=30,X_2=90-\frac{1}{2}\cdot60-\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{2}\cdot330+\frac{1}{2}\left(30+120\right)-220\right\}=50,X_3=180-\frac{1}{2}\cdot60-\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{2}\cdot330+\frac{1}{2}\left(30+120\right)-220\right\}=140$ ……(答)

2016年慶応義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問5

2019.09.23

方針の立て方ガウス記号()の問題はとにかく書き出してみること．書き出していく中で規則性をつかむことができる．(1)の場合にはが平方数となる前後での値が1増えることが分かる．そのため，が平方数となる箇所ごとに数列を区切って，群数列としてみると良い(特にを求めるときに，分母が同じものに着目することが重

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方針の立て方
ガウス記号( $\left[\qquad\right]$ )の問題はとにかく書き出してみること．書き出していく中で規則性をつかむことができる．(1)の場合には $n$ が平方数となる前後で $\left[\sqrt n\right]$ の値が1増えることが分かる．そのため， $n$ が平方数となる箇所ごとに数列を区切って，群数列としてみると良い(特に $S_{99}$ を求めるときに，分母が同じものに着目することが重要だと気付くだろう)．同様に，(2)の場合には $n$ が立方数となる箇所ごとに数列を区切る．

解答例
(70)(71)……27
(72)(73)……80
(74)(75)(76)……714
(77)(78)……46
(79)(80)……20
(81)(82)(83)(84)……2178

解説
(1)
○ $a_n$ が整数となるもの((70)と(71)について)
分母の $\left[\sqrt n\right]$ の値で場合分けする．
$\left[\sqrt n\right]=1$ となるのは， $1\leqq n\leqq3$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=1,2,3$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=2$ となるのは， $4\leqq n\leqq8$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=4,6,8$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=3$ となるのは， $9\leqq n\leqq15$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=9,12,15$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=4$ となるのは， $16\leqq n\leqq24$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=16,20,24$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=5$ となるのは， $25\leqq n\leqq35$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=25,30,35$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=6$ となるのは， $36\leqq n\leqq48$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=36,42,48$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=7$ となるのは， $49\leqq n\leqq63$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=49,56,63$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=8$ となるのは， $64\leqq n\leqq80$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=64,72,80$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=9$ となるのは， $81\leqq n\leqq99$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=81,90,99$ で3個．
以上より，求める個数は， $3\times9=27$ 個……(答)

○最初に $a_n=10$ となる $n$ ((72)と(73)について)
分母の $\left[\sqrt n\right]$ の値で場合分けする．
$\left[\sqrt n\right]=1$ となる項の中で最大の項は， $n=3$ のときで， $a_3=3$ ．
$\left[\sqrt n\right]=2$ となる項の中で最大の項は， $n=8$ のときで， $a_8=4$ ．
$\left[\sqrt n\right]=3$ となる項の中で最大の項は， $n=15$ のときで， $a_{15}=5$ ．
$\left[\sqrt n\right]=4$ となる項の中で最大の項は， $n=24$ のときで， $a_{24}=6$ ．
$\left[\sqrt n\right]=5$ となる項の中で最大の項は， $n=35$ のときで， $a_{35}=7$ ．
$\left[\sqrt n\right]=6$ となる項の中で最大の項は， $n=48$ のときで， $a_{48}=8$ ．
$\left[\sqrt n\right]=7$ となる項の中で最大の項は， $n=63$ のときで， $a_{63}=9$ ．
$\left[\sqrt n\right]=8$ となる項の中で最大の項は， $n=80$ のときで， $a_{80}=10$ ．
よって，最初に $a_n=10$ となる $n$ は $n=80$ ……(答)

○ $S_{99}$ ((74)～(76)について)
分母の $\left[\sqrt n\right]$ の値が同じ項をまとめて考える(群数列の考え方)．
$S_{99}=\sum_{i=1}^{99}a_i=\frac{1+2+3}{1}+\frac{4+5+\cdots\cdots+8}{2}+\frac{9+10+\cdots\cdots+15}{3}+\cdots\cdots+\frac{81+82+\cdots\cdots+99}{9}=\sum_{n=1}^{9}\frac{\sum_{m=n^2}^{\left(n+1\right)^2-1}m}{n}=\sum_{n=1}^{9}\frac{\frac{1}{2}\left(2n+1\right)\left\{n^2+\left(n+1\right)^2-1\right\}}{n}=\sum_{n=1}^{9}\left(2n^2+3n+1\right)=714$ ……(答)

(2)
○ $b_n$ が整数となるもの((77)と(78)について)
分母の $\left[\sqrt[3]{n}\right]$ の値で場合分けする．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=1$ となるのは， $1\leqq n\leqq7$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=1,2,3,\cdots\cdots,7$ で7個．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=2$ となるのは， $8\leqq n\leqq26$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=8,10,12,\cdots\cdots,26$ で10個．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=3$ となるのは， $27\leqq n\leqq63$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=27,30,33,\cdots\cdots,63$ で13個．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=4$ となるのは， $64\leqq n\leqq124$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=64,68,72,\cdots\cdots,124$ で16個．
以上より，求める個数は， $7+10+13+16=46$ 個……(答)

○最初に $b_n=10$ となる $n$ ((79)と(80)について)
分母の $\left[\sqrt[3]{n}\right]$ の値で場合分けする．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=1$ となる項の中で最大の項は， $n=7$ のときで， $b_7=7$ ．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=2$ となる項の中で最大の項は， $n=26$ のときで， $b_{26}=13$ ．
よって求める $n$ は $\left[\sqrt[3]{n}\right]=2$ となる項の中にある．分母が2のため，分子が20になる項が該当する．そしてその項は $b_{20}$ である．
よって，最初に $b_n=10$ となる $n$ は $n=20$ ……(答)

○ $T_{124}$ ((81)～(84)について)
分母の $\left[\sqrt[3]{n}\right]$ の値が同じ項をまとめて考える(群数列の考え方)．
$T_{124}=\sum_{i=1}^{124}b_i=\frac{1+2+\cdots\cdots+7}{1}+\frac{8+9+\cdots\cdots+26}{2}+\frac{27+28+\cdots\cdots+63}{3}+\frac{64+65+\cdots\cdots+124}{4}=\sum_{n=1}^{4}\frac{\sum_{m=n^3}^{\left(n+1\right)^3-1}m}{n}=\sum_{n=1}^{4}\frac{\frac{1}{2}\left(3n^2+3n+1\right)\left\{n^3+\left(n+1\right)^3-1\right\}}{n}=\sum_{n=1}^{4}{\frac{1}{2}\left(3n^2+3n+1\right)\left(2n^2+3n+3\right)}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot8+\frac{1}{2}\cdot19\cdot17+\frac{1}{2}\cdot37\cdot30+\frac{1}{2}\cdot61\cdot47=2178$ ……(答)

英検準一級対策!早慶入試でも利用できるその攻略法とは

2019.09.23

4技能入試に向けて外部試験導入が進んでいる昨今、大学入試において英検準１級を取得するメリットは非常に大きいです。 2級に比べるとやや難しくなりますが受験勉強の範疇で十分対応が可能で、TOEICなどの他の外部試験と比べると比較的安価で対策もしやすいのでおすすめの資格と言えるでしょう。　実際の過去問は

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4技能入試に向けて外部試験導入が進んでいる昨今、大学入試において英検準１級を取得するメリットは非常に大きいです。 [toc]
2級に比べるとやや難しくなりますが受験勉強の範疇で十分対応が可能で、TOEICなどの他の外部試験と比べると比較的安価で対策もしやすいのでおすすめの資格と言えるでしょう。

　実際の過去問は公式サイトで最新３回分が無料で公開されています。
マイナーチェンジされることもありますが、大枠はほとんど変わりませんので最新の問題（2018年第１回）をもとに傾向と対策をみていきましょう。

まず試験全体の話ですが、現在はリーディング・リスニング・ライティングの問題を解く１次試験と試験官と対面で英語を話す2次試験に分かれています。
将来的に1日で試験を行うようになる可能性はありますが、しばらくは現行の試験形態のままで行われるでしょう。
まずは筆記試験について対策をお伝えしていきます。

筆記試験問題形式

Reading　90分

第1問　語彙25問、第2問　長文穴埋め2題、第3問　長文3題、第4問　英作文（120-150words）

Listening　約30分

Part1 Dialogues、Part2 Passages、Part3 Real-Life

リーディングセクションについて

日本の既存の教育を受けている人であれば、一番得意となりうるセクションです。
大学受験で行っている長文対策で対応できる部分もありますが、できない部分もあります。下記でどのように対策を行ったら良いのかを記載していきます。

第1問　語彙

単に準１級に受かるだけであればこのセクションで高得点を取る必要はありません。
ただし準１級の長文パートは2級よりも語彙力を要求されますので最低限の準備はしておく必要があります。

具体的には単語王レベルの語彙は絶対に必要です。
何はともあれまずは単語王をしっかり終わらせましょう。
いきなり英検準１級用の単語帳に手を出しても良いのですが、単語王レベルで不安が残る状態だとスムーズにいかない場合があるのでまずは今使用している単語帳（単語王でなくてもよい）を仕上げるのがよいでしょう。

▶単語王の効果的な使い方はこちら

第2問　長文穴埋め

長文とは言っても3段落程度の短い文章ですので語数は多くありません。
内容も平易で問題も答えやすいものばかりとなっています。

早慶レベルの問題と比べればはるかに解きやすく早慶を狙う受験生であれば満点を狙ってほしいセクションです。
ここでの失点が目立つようであれば一度2級レベルの問題に戻るといいでしょう。

第3問　長文

標準的な長文問題を3題解くことになります。
内訳としては3パラグラフの文章が2題と4パラグラフの文章が1題で設問数はパラグラフ数と同一となっています。

つまり、基本的には1つのパラグラフに1つの問題が対応しているわけです。

問題を解くうえでは１つのパラグラフを読み終わったらそれに対応した問題を解くと読み返し無しでスムーズに解けるでしょう。
選択肢に意地悪なものがほとんどないので、普段の受験勉強の延長として過去問に取り組むだけで十分な対策になります。

さらにリーディングの具体的な対策、勉強法、合格点、目標点についてはこちらでも解説しています。

英検準1級リーディング対策!早稲田入試でも利用できるその攻略法とは

ライティングセクション

英検準1級の英作文では120〜150語程度の英作文が1題課されます。
話題は社会的なものが多いですが、ヒントとして4つのポイントが提示されておりその中から2つを選んで書くことになります。
理由づけは基本的にそのポイントに従ってやればよく、問題形式は毎回変わらないのでテンプレートを作成して覚えておけば語数に対してやることは意外と少ないです。

さらにライティングの具体的な対策、勉強法、合格点、目標点についてはこちらでも解説しています。

英検準1級ライティング対策!早稲田入試でも利用できるその攻略法とは

リスニングセクションについて

英検に限らずこうしたリスニングの試験で得点を伸ばす一番の方法は先読みです。
先読みとは放送前に選択肢に目を通しておくことを言います。
特に英検は時間に余裕のある試験ですので、
合格レベルの学力があれば必ず時間は余ります。

順調にいけば10分程度余って見直しに2~3分、
残りの7~8分を先読みの時間に当てることができます。

余裕があれば余白に何を聞かれそうかメモしておいてもいいでしょう。

ただ筆記で予想外に苦戦するということも十分考えられますので、
その場合は最低限Part3のSituationとQuestionだけでも目を通しましょう。
というのもこのパートはSituationが文章で説明されているのでpart1とpart2に比べて目を通すのに時間がかかるからです。

また特にPart1については放送が始まる前に長めの指示（基本的に毎回同じ内容）が流れるのでその時間中にも先読みを行うことができます。
先読みをやるかどうかで取り組みやすさが段違いに変わりますのでこれは必ず行うようにしてください。

ただし多少慣れが必要な部分もあるので、過去問に取り組む際は時間を測ってフルセットで行い、自分がどれくらい先読みの時間を確保できるのかをしっかり把握しておきましょう。

また言うまでもないですが、解けなかった問題に執着するのは絶対にやめましょう。
マークを終えたら意識を切り替えて次の問題に取り組むのが大事です。

さらにリスニングの具体的な対策、勉強法、合格点、目標点についてはこちらでも解説しています。

英検準1級リスニング対策!早稲田入試でも利用できるその攻略法とは

スピーキングセクションについて

毎回1次試験合格者の約8割以上は2次試験合格を果たしています。
ですが、それは1次試験の対策をしっかりしている人であれば、2次試験の対策もしっかり行っているからうかるわけであっても、何も対策をせずうかるということはありえません。
試験当日は、自信を持って答えられるように準備を怠らずに勉強をしてください。

実際の問題構成は以下の通りです。

入室&挨拶+スモールトーク

↓

イラストのナレーション 1題（準備時間1分）

↓

イラストに関する質問2題（2問目はカードを伏せる）

↓

社会的な質問2題

英検の公式サイトのサンプル問題では、受動喫煙問題・日本の犯罪率・政府の決定に対する世論の役割が出題されています。こうしたテーマを対して準備なしで語るのは一見難しいように思えるかもしれません。

しかし、これらのテーマは多くが英作文の対策をしっかりやっていれば問題なく応答できます。
もちろん淀みなくスラスラ喋るということになれば難しいでしょうが、多少言い淀んでも大きく減点されることはありません。相手の質問を聞いて少し考え、ポイントを外さず応答する。それで十分です。

質問が聞き取れなかったら素直に聞き返しましょう。
流暢さももちろん重要ですが、
面接レベルの内容の会話で一度だけで完璧に聞き取って、完璧な答えを返すということは少ないです。質問の意図を正確に理解して、答えることの方がはるかに重要です。

対策としては英作文で勉強したテーマを口頭である程度話せるようにするだけで大丈夫です。具体的には添削済みの自分の答案を音読するといいでしょう。
発音等まで気をつけたい場合は音読のときに録音してみると自分の発音の良し悪しがわかるのでおすすめです。

当塾ではネイティブの講師や英語圏に在住経験のあるハイレベルの講師を採用して、何をどうしたら良いのかという点まで対策をしております。
英検準一級対策でご不明な点があればお気軽にご連絡ください。これからの入試において、何をどうしたらよいのか、ご相談レベルの話でもご不安がある場合は一度ご相談をいただければと思います。こちらからご相談ください。

2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問4

2019.09.23

方針の立て方 (1) 頻出問題であるため，原理とともに解法をおさえておきたい．答えとなる点は直線上にあるわけだが，直線は線分の垂直二等分線であるから，直線上の点と点，点との距離は等しくなる．よって，点で考察するのと，点で考察するのは等価となる．これが，この問題(解法)の原理である． (2) 前問で説

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方針の立て方
(1)
頻出問題であるため，原理とともに解法をおさえておきたい．答えとなる点 $\mathrm{P}$ は直線 $l$ 上にあるわけだが，直線 $l$ は線分 $\mathrm{AA}^\prime$ の垂直二等分線であるから，直線 $l$ 上の点と点 $\mathrm{A}$ ，点 $\mathrm{A}^\prime$ との距離は等しくなる．よって，点 $\mathrm{A}$ で考察するのと，点 $\mathrm{A}^\prime$ で考察するのは等価となる．これが，この問題(解法)の原理である．
(2)
前問で説明した原理を応用すればよい．

解答例
(50)(51)(52)(53)…… $\frac{-11}{6}$
(54)(55)(56)(57)…… $\frac{017}{6}$
(58)(59)(60)…… $\frac{-5}{3}$
(61)(62)(63)…… $\frac{08}{3}$
(64)(65)(66)…… $\frac{21}{5}$
(67)(68)(69)…… $\frac{06}{5}$

解説
(1)

上図のように，直線 $l$ に対して点 $\mathrm{A}$ と対称な点を $\mathrm{A}^\prime$ とする．
直線 $\mathrm{AA}^\prime$ (図の破線)の式は $y=x+6$ であるから， $\mathrm{A}^\prime$ の座標は， $\left(-3,3\right)$ と分かる．
よって，直線 $\mathrm{A}^\prime B$ (図の鎖線)の式は $y=-\frac{1}{7}x+\frac{18}{7}$ と分かる．直線 $\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}$ と直線 $l$ の交点が点 $\mathrm{P}$ であり，その座標は，
$\left(\frac{-11}{6},\frac{17}{6}\right)$ ……(答)

(2)

直線 $m$ に対して点 $\mathrm{B}$ と対称な点を $\mathrm{B}^\prime$ とする．前問と同様に点 $\mathrm{B}^\prime$ の座標を求めると， $\left(5,1\right)$ となる．
よって，直線 $\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$ (図の鎖線)の式は $y=-\frac{1}{4}x+\frac{9}{4}$ と分かる．直線 $\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$ と直線 $l,m$ の交点が点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ であり，その座標は， $\mathrm{P}\left(-\frac{5}{3},\frac{8}{3}\right),\mathrm{Q}\left(\frac{21}{5},\frac{6}{5}\right)$ ……(答)

2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問3

2019.09.23

方針の立て方接線については「曲線が接する」の定義通り，接線が一致することを利用する．そのため，接線を求めていく．後は基本的な解法に従えばよいため，特筆事項なし．解答例 (36)…… (37)(38)…… (39)(40)…… (41)…… (42)(43)…… (44)(45)…… (46)……

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方針の立て方
接線については「曲線が接する」の定義通り，接線が一致することを利用する．そのため，接線を求めていく．後は基本的な解法に従えばよいため，特筆事項なし．

解答例
(36)…… $1$
(37)(38)…… $\frac{1}{4}$
(39)(40)…… $\frac{1}{2}$
(41)…… $1$
(42)(43)…… $\frac{1}{2}$
(44)(45)…… $\frac{4}{3}$
(46)…… $2$
(47)…… $1$
(48)(49)…… $\frac{1}{6}$

解説
○ $p$ ((36)～(38)について)
$C_1$ と $C_2$ の接点を $\left(x_0,y_0\right)$ とする．
$C_1\colon x^2+\left(y-p\right)^2=r^2$ より，点 $\left(x_0,y_0\right)$ での接線は， $x_0x+\left(y_0-p\right)\left(y-p\right)=r^2\Longleftrightarrow y=-\frac{x_0}{y_0-p}x+\frac{r^2}{y_0-p}+p$ である．
$C_2\colon y=x^2$ より，点 $\left(x_0,y_0\right)$ での接線は， $y=2x_0x-2{x_0}^2+y_0$ である．
これらが一致するので，
$\begin{cases} -\frac{x_0}{y_0-p}=2x_0 \\ \frac{r^2}{y_0-p}+p=-2{x_0}^2+y_0 \end{cases}$
また，点 $\left(x_0,y_0\right)$ は $C_2$ 上の点のため， $y_0={x_0}^2$ が成り立つ．これらより， $x_0$ と $y_0$ を消去すると，
$p=r^2+\frac{1}{4}$ ……(答)

○ $r$ の範囲((39)と(40)について)
まず， $r<p$ より，
$r<r^2+\frac{1}{4}\Leftrightarrow0<\left(r-\frac{1}{2}\right)^2\Leftrightarrow r\neq\frac{1}{2}$
次に，接点の $y$ 座標について，
$y_0=p-\frac{1}{2}=r^2-\frac{1}{4}$
であり，これは正でなくてはならないから，
$0<r^2-\frac{1}{4}$
$0<r$ に注意して解くと，
$\frac{1}{2}<r$ ……(答)

○ $C_2$ と $l$ の交点のx座標((41)～(43)について)
$\begin{cases} y=x^2 \\ y=q=p+r \end{cases}\Rightarrow x^2=p+r=r^2+r+\frac{1}{4}=\left(r+\frac{1}{2}\right)^2$
$\therefore x=\pm\left(r+\frac{1}{2}\right)$ ……(答)

○領域の面積((44)～(49)について)
$\int_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}\left(q-x^2\right)dx=\int_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}\left\{\left(r+\frac{1}{2}\right)^2-x^2\right\}dx=\left[\left(r+\frac{1}{2}\right)^2x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}r^3+2r^2+r+\frac{1}{6}$ ……(答)

2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問2

2019.09.23

方針の立て方断面を求めるには，交点(頂点)を求めるという典型的な解法に従う．の値によって，断面の様子が違うことは実際にのときの図形とのときの図形を描いてみると分かる(本問のように，パラメーターの範囲が定められているときは，範囲の両端のときを考えると分かりやすいことが多い)．答えの表式から，場合分け

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方針の立て方
断面を求めるには，交点(頂点)を求めるという典型的な解法に従う． $a$

の値によって，断面の様子が違うことは実際に $a=1$

のときの図形と $a=3$

のときの図形を描いてみると分かる(本問のように，パラメーターの範囲が定められているときは，範囲の両端のときを考えると分かりやすいことが多い)．答えの表式から，場合分けの両方をやらなくても答え自体は求められる．本当は場合分けの両方を検証せねばならないが，穴埋め式の問題のため，本番では片方だけやって，穴を埋めることで時間を節約する．
体積については，基本的な解法で解けるため特筆事項なし．

解答例
(16)(17)…… $\frac{\sqrt3}{2}$
(18)(19)…… $-1$
(20)(21)…… $04$
(22)(23)…… $-2$
(24)(25)(26)(27)…… $\frac{4+\sqrt{10}}{3}$
(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)…… $\frac{28+10\sqrt{10}}{81}$

解説
○断面の面積((16)～(23)について)
平面 $x+y+z=a$ は3点 $\left(a,0,0\right),\left(0,a,0\right),\left(0,0,a\right)$ を通る平面である．この平面と直方体の断面を考えると， $a=2$ の前後で場合分けが生じると分かる．
・ $1<a\leqq2$ のとき，
断面は $\left(a,0,0\right),\left(a-1,0,1\right),\left(0,a-1,1\right),\left(0,1,a-1\right),\left(a-1,1,0\right)$ を頂点とする五角形である．
$\left(a,0,0\right),\left(a-1,0,1\right),\left(0,a-1,1\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-1,0,1\right)\right|^2\left|\left(-a,a-1,1\right)\right|^2-\left\{\left(-1,0,1\right)\cdot\left(-a,a-1,1\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)$
である．
$\left(a,0,0\right),\left(0,a-1,1\right),\left(0,1,a-1\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-a,a-1,1\right)\right|^2\left|\left(-a,1,a-1\right)\right|^2-\left\{\left(-a,a-1,1\right)\cdot\left(-a,1,a-1\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}a\left(2-a\right)$
である．
$\left(a,0,0\right),\left(0,1,a-1\right),\left(a-1,1,0\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-a,1,a-1\right)\right|^2\left|\left(-1,1,0\right)\right|^2-\left\{\left(-a,1,a-1\right)\cdot\left(-1,1,0\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)$
である．
よって，
$S=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)+\frac{\sqrt3}{2}a\left(2-a\right)+\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)$
・ $2\leqq a<3$ のとき
断面は $\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,0,1\right),\left(a-2,1,1\right),\left(a-1,1,0\right),\left(2,a-2,0\right)$ を頂点とする五角形である．
$\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,0,1\right),\left(a-2,1,1\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-3,0,-a+3\right)\right|^2\left|\left(a-4,1,-a+3\right)\right|^2-\left\{\left(a-3,0,-a+3\right)\cdot\left(a-4,1,-a+3\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(3-a\right)$
である．
$\left(2,0,a-2\right),\left(a-2,1,1\right),\left(a-1,1,0\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-4,1,-a+3\right)\right|^2\left|\left(a-3,1,-a+2\right)\right|^2-\left\{\left(a-4,1,-a+3\right)\cdot\left(a-3,1,-a+2\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}$
である．
$\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,1,0\right),\left(2,a-2,0\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-3,1,-a+2\right)\right|^2\left|\left(0,a-2,-a+2\right)\right|^2-\left\{\left(a-3,1,-a+2\right)\cdot\left(0,a-2,-a+2\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-2\right)\left(3-a\right)$
である．
よって，
$S=\frac{\sqrt3}{2}\left(3-a\right)+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\left(a-2\right)\left(3-a\right)=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)$
以上より，
$S=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)$ ……(答)

○体積((24)～(35)について)
原点 $\mathrm{O}$ と平面 $x+y+z=a$ の距離は，
$\frac{\left|-a\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{a}{\sqrt3}$
$\therefore V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)=\frac{a}{6}\left(-a^2+4a-2\right)$
よって， $\frac{dV}{da}=\frac{1}{6}\left(-3a^2+8a-2\right)$ であり， $\frac{dV}{da}=0$ となるのは， $a=\frac{4\pm\sqrt{10}}{3}$ のとき．増減表を描くと，