早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA | 【慶應早稲田専門対策】個別指導塾ヒロアカ

英検準一級対策!早慶入試でも利用できるその攻略法とは

2019.09.23

4技能入試に向けて外部試験導入が進んでいる昨今、大学入試において英検準１級を取得するメリットは非常に大きいです。 2級に比べるとやや難しくなりますが受験勉強の範疇で十分対応が可能で、TOEICなどの他の外部試験と比べると比較的安価で対策もしやすいのでおすすめの資格と言えるでしょう。　実際の過去問は

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4技能入試に向けて外部試験導入が進んでいる昨今、大学入試において英検準１級を取得するメリットは非常に大きいです。 [toc]
2級に比べるとやや難しくなりますが受験勉強の範疇で十分対応が可能で、TOEICなどの他の外部試験と比べると比較的安価で対策もしやすいのでおすすめの資格と言えるでしょう。

　実際の過去問は公式サイトで最新３回分が無料で公開されています。
マイナーチェンジされることもありますが、大枠はほとんど変わりませんので最新の問題（2018年第１回）をもとに傾向と対策をみていきましょう。

まず試験全体の話ですが、現在はリーディング・リスニング・ライティングの問題を解く１次試験と試験官と対面で英語を話す2次試験に分かれています。
将来的に1日で試験を行うようになる可能性はありますが、しばらくは現行の試験形態のままで行われるでしょう。
まずは筆記試験について対策をお伝えしていきます。

筆記試験問題形式

Reading　90分

第1問　語彙25問、第2問　長文穴埋め2題、第3問　長文3題、第4問　英作文（120-150words）

Listening　約30分

Part1 Dialogues、Part2 Passages、Part3 Real-Life

リーディングセクションについて

日本の既存の教育を受けている人であれば、一番得意となりうるセクションです。
大学受験で行っている長文対策で対応できる部分もありますが、できない部分もあります。下記でどのように対策を行ったら良いのかを記載していきます。

第1問　語彙

単に準１級に受かるだけであればこのセクションで高得点を取る必要はありません。
ただし準１級の長文パートは2級よりも語彙力を要求されますので最低限の準備はしておく必要があります。

具体的には単語王レベルの語彙は絶対に必要です。
何はともあれまずは単語王をしっかり終わらせましょう。
いきなり英検準１級用の単語帳に手を出しても良いのですが、単語王レベルで不安が残る状態だとスムーズにいかない場合があるのでまずは今使用している単語帳（単語王でなくてもよい）を仕上げるのがよいでしょう。

▶単語王の効果的な使い方はこちら

第2問　長文穴埋め

長文とは言っても3段落程度の短い文章ですので語数は多くありません。
内容も平易で問題も答えやすいものばかりとなっています。

早慶レベルの問題と比べればはるかに解きやすく早慶を狙う受験生であれば満点を狙ってほしいセクションです。
ここでの失点が目立つようであれば一度2級レベルの問題に戻るといいでしょう。

第3問　長文

標準的な長文問題を3題解くことになります。
内訳としては3パラグラフの文章が2題と4パラグラフの文章が1題で設問数はパラグラフ数と同一となっています。

つまり、基本的には1つのパラグラフに1つの問題が対応しているわけです。

問題を解くうえでは１つのパラグラフを読み終わったらそれに対応した問題を解くと読み返し無しでスムーズに解けるでしょう。
選択肢に意地悪なものがほとんどないので、普段の受験勉強の延長として過去問に取り組むだけで十分な対策になります。

さらにリーディングの具体的な対策、勉強法、合格点、目標点についてはこちらでも解説しています。

英検準1級リーディング対策!早稲田入試でも利用できるその攻略法とは

ライティングセクション

英検準1級の英作文では120〜150語程度の英作文が1題課されます。
話題は社会的なものが多いですが、ヒントとして4つのポイントが提示されておりその中から2つを選んで書くことになります。
理由づけは基本的にそのポイントに従ってやればよく、問題形式は毎回変わらないのでテンプレートを作成して覚えておけば語数に対してやることは意外と少ないです。

さらにライティングの具体的な対策、勉強法、合格点、目標点についてはこちらでも解説しています。

英検準1級ライティング対策!早稲田入試でも利用できるその攻略法とは

リスニングセクションについて

英検に限らずこうしたリスニングの試験で得点を伸ばす一番の方法は先読みです。
先読みとは放送前に選択肢に目を通しておくことを言います。
特に英検は時間に余裕のある試験ですので、
合格レベルの学力があれば必ず時間は余ります。

順調にいけば10分程度余って見直しに2~3分、
残りの7~8分を先読みの時間に当てることができます。

余裕があれば余白に何を聞かれそうかメモしておいてもいいでしょう。

ただ筆記で予想外に苦戦するということも十分考えられますので、
その場合は最低限Part3のSituationとQuestionだけでも目を通しましょう。
というのもこのパートはSituationが文章で説明されているのでpart1とpart2に比べて目を通すのに時間がかかるからです。

また特にPart1については放送が始まる前に長めの指示（基本的に毎回同じ内容）が流れるのでその時間中にも先読みを行うことができます。
先読みをやるかどうかで取り組みやすさが段違いに変わりますのでこれは必ず行うようにしてください。

ただし多少慣れが必要な部分もあるので、過去問に取り組む際は時間を測ってフルセットで行い、自分がどれくらい先読みの時間を確保できるのかをしっかり把握しておきましょう。

また言うまでもないですが、解けなかった問題に執着するのは絶対にやめましょう。
マークを終えたら意識を切り替えて次の問題に取り組むのが大事です。

さらにリスニングの具体的な対策、勉強法、合格点、目標点についてはこちらでも解説しています。

英検準1級リスニング対策!早稲田入試でも利用できるその攻略法とは

スピーキングセクションについて

毎回1次試験合格者の約8割以上は2次試験合格を果たしています。
ですが、それは1次試験の対策をしっかりしている人であれば、2次試験の対策もしっかり行っているからうかるわけであっても、何も対策をせずうかるということはありえません。
試験当日は、自信を持って答えられるように準備を怠らずに勉強をしてください。

実際の問題構成は以下の通りです。

入室&挨拶+スモールトーク

↓

イラストのナレーション 1題（準備時間1分）

↓

イラストに関する質問2題（2問目はカードを伏せる）

↓

社会的な質問2題

英検の公式サイトのサンプル問題では、受動喫煙問題・日本の犯罪率・政府の決定に対する世論の役割が出題されています。こうしたテーマを対して準備なしで語るのは一見難しいように思えるかもしれません。

しかし、これらのテーマは多くが英作文の対策をしっかりやっていれば問題なく応答できます。
もちろん淀みなくスラスラ喋るということになれば難しいでしょうが、多少言い淀んでも大きく減点されることはありません。相手の質問を聞いて少し考え、ポイントを外さず応答する。それで十分です。

質問が聞き取れなかったら素直に聞き返しましょう。
流暢さももちろん重要ですが、
面接レベルの内容の会話で一度だけで完璧に聞き取って、完璧な答えを返すということは少ないです。質問の意図を正確に理解して、答えることの方がはるかに重要です。

対策としては英作文で勉強したテーマを口頭である程度話せるようにするだけで大丈夫です。具体的には添削済みの自分の答案を音読するといいでしょう。
発音等まで気をつけたい場合は音読のときに録音してみると自分の発音の良し悪しがわかるのでおすすめです。

当塾ではネイティブの講師や英語圏に在住経験のあるハイレベルの講師を採用して、何をどうしたら良いのかという点まで対策をしております。
英検準一級対策でご不明な点があればお気軽にご連絡ください。これからの入試において、何をどうしたらよいのか、ご相談レベルの話でもご不安がある場合は一度ご相談をいただければと思います。こちらからご相談ください。

2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問4

2019.09.23

方針の立て方 (1) 頻出問題であるため，原理とともに解法をおさえておきたい．答えとなる点は直線上にあるわけだが，直線は線分の垂直二等分線であるから，直線上の点と点，点との距離は等しくなる．よって，点で考察するのと，点で考察するのは等価となる．これが，この問題(解法)の原理である． (2) 前問で説

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方針の立て方
(1)
頻出問題であるため，原理とともに解法をおさえておきたい．答えとなる点 $\mathrm{P}$ は直線 $l$ 上にあるわけだが，直線 $l$ は線分 $\mathrm{AA}^\prime$ の垂直二等分線であるから，直線 $l$ 上の点と点 $\mathrm{A}$ ，点 $\mathrm{A}^\prime$ との距離は等しくなる．よって，点 $\mathrm{A}$ で考察するのと，点 $\mathrm{A}^\prime$ で考察するのは等価となる．これが，この問題(解法)の原理である．
(2)
前問で説明した原理を応用すればよい．

解答例
(50)(51)(52)(53)…… $\frac{-11}{6}$
(54)(55)(56)(57)…… $\frac{017}{6}$
(58)(59)(60)…… $\frac{-5}{3}$
(61)(62)(63)…… $\frac{08}{3}$
(64)(65)(66)…… $\frac{21}{5}$
(67)(68)(69)…… $\frac{06}{5}$

解説
(1)

上図のように，直線 $l$ に対して点 $\mathrm{A}$ と対称な点を $\mathrm{A}^\prime$ とする．
直線 $\mathrm{AA}^\prime$ (図の破線)の式は $y=x+6$ であるから， $\mathrm{A}^\prime$ の座標は， $\left(-3,3\right)$ と分かる．
よって，直線 $\mathrm{A}^\prime B$ (図の鎖線)の式は $y=-\frac{1}{7}x+\frac{18}{7}$ と分かる．直線 $\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}$ と直線 $l$ の交点が点 $\mathrm{P}$ であり，その座標は，
$\left(\frac{-11}{6},\frac{17}{6}\right)$ ……(答)

(2)

直線 $m$ に対して点 $\mathrm{B}$ と対称な点を $\mathrm{B}^\prime$ とする．前問と同様に点 $\mathrm{B}^\prime$ の座標を求めると， $\left(5,1\right)$ となる．
よって，直線 $\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$ (図の鎖線)の式は $y=-\frac{1}{4}x+\frac{9}{4}$ と分かる．直線 $\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$ と直線 $l,m$ の交点が点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ であり，その座標は， $\mathrm{P}\left(-\frac{5}{3},\frac{8}{3}\right),\mathrm{Q}\left(\frac{21}{5},\frac{6}{5}\right)$ ……(答)

2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問3

2019.09.23

方針の立て方接線については「曲線が接する」の定義通り，接線が一致することを利用する．そのため，接線を求めていく．後は基本的な解法に従えばよいため，特筆事項なし．解答例 (36)…… (37)(38)…… (39)(40)…… (41)…… (42)(43)…… (44)(45)…… (46)……

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方針の立て方
接線については「曲線が接する」の定義通り，接線が一致することを利用する．そのため，接線を求めていく．後は基本的な解法に従えばよいため，特筆事項なし．

解答例
(36)…… $1$
(37)(38)…… $\frac{1}{4}$
(39)(40)…… $\frac{1}{2}$
(41)…… $1$
(42)(43)…… $\frac{1}{2}$
(44)(45)…… $\frac{4}{3}$
(46)…… $2$
(47)…… $1$
(48)(49)…… $\frac{1}{6}$

解説
○ $p$ ((36)～(38)について)
$C_1$ と $C_2$ の接点を $\left(x_0,y_0\right)$ とする．
$C_1\colon x^2+\left(y-p\right)^2=r^2$ より，点 $\left(x_0,y_0\right)$ での接線は， $x_0x+\left(y_0-p\right)\left(y-p\right)=r^2\Longleftrightarrow y=-\frac{x_0}{y_0-p}x+\frac{r^2}{y_0-p}+p$ である．
$C_2\colon y=x^2$ より，点 $\left(x_0,y_0\right)$ での接線は， $y=2x_0x-2{x_0}^2+y_0$ である．
これらが一致するので，
$\begin{cases} -\frac{x_0}{y_0-p}=2x_0 \\ \frac{r^2}{y_0-p}+p=-2{x_0}^2+y_0 \end{cases}$
また，点 $\left(x_0,y_0\right)$ は $C_2$ 上の点のため， $y_0={x_0}^2$ が成り立つ．これらより， $x_0$ と $y_0$ を消去すると，
$p=r^2+\frac{1}{4}$ ……(答)

○ $r$ の範囲((39)と(40)について)
まず， $r<p$ より，
$r<r^2+\frac{1}{4}\Leftrightarrow0<\left(r-\frac{1}{2}\right)^2\Leftrightarrow r\neq\frac{1}{2}$
次に，接点の $y$ 座標について，
$y_0=p-\frac{1}{2}=r^2-\frac{1}{4}$
であり，これは正でなくてはならないから，
$0<r^2-\frac{1}{4}$
$0<r$ に注意して解くと，
$\frac{1}{2}<r$ ……(答)

○ $C_2$ と $l$ の交点のx座標((41)～(43)について)
$\begin{cases} y=x^2 \\ y=q=p+r \end{cases}\Rightarrow x^2=p+r=r^2+r+\frac{1}{4}=\left(r+\frac{1}{2}\right)^2$
$\therefore x=\pm\left(r+\frac{1}{2}\right)$ ……(答)

○領域の面積((44)～(49)について)
$\int_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}\left(q-x^2\right)dx=\int_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}\left\{\left(r+\frac{1}{2}\right)^2-x^2\right\}dx=\left[\left(r+\frac{1}{2}\right)^2x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}r^3+2r^2+r+\frac{1}{6}$ ……(答)

2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問2

2019.09.23

方針の立て方断面を求めるには，交点(頂点)を求めるという典型的な解法に従う．の値によって，断面の様子が違うことは実際にのときの図形とのときの図形を描いてみると分かる(本問のように，パラメーターの範囲が定められているときは，範囲の両端のときを考えると分かりやすいことが多い)．答えの表式から，場合分け

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方針の立て方
断面を求めるには，交点(頂点)を求めるという典型的な解法に従う． $a$

の値によって，断面の様子が違うことは実際に $a=1$

のときの図形と $a=3$

のときの図形を描いてみると分かる(本問のように，パラメーターの範囲が定められているときは，範囲の両端のときを考えると分かりやすいことが多い)．答えの表式から，場合分けの両方をやらなくても答え自体は求められる．本当は場合分けの両方を検証せねばならないが，穴埋め式の問題のため，本番では片方だけやって，穴を埋めることで時間を節約する．
体積については，基本的な解法で解けるため特筆事項なし．

解答例
(16)(17)…… $\frac{\sqrt3}{2}$
(18)(19)…… $-1$
(20)(21)…… $04$
(22)(23)…… $-2$
(24)(25)(26)(27)…… $\frac{4+\sqrt{10}}{3}$
(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)…… $\frac{28+10\sqrt{10}}{81}$

解説
○断面の面積((16)～(23)について)
平面 $x+y+z=a$ は3点 $\left(a,0,0\right),\left(0,a,0\right),\left(0,0,a\right)$ を通る平面である．この平面と直方体の断面を考えると， $a=2$ の前後で場合分けが生じると分かる．
・ $1<a\leqq2$ のとき，
断面は $\left(a,0,0\right),\left(a-1,0,1\right),\left(0,a-1,1\right),\left(0,1,a-1\right),\left(a-1,1,0\right)$ を頂点とする五角形である．
$\left(a,0,0\right),\left(a-1,0,1\right),\left(0,a-1,1\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-1,0,1\right)\right|^2\left|\left(-a,a-1,1\right)\right|^2-\left\{\left(-1,0,1\right)\cdot\left(-a,a-1,1\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)$
である．
$\left(a,0,0\right),\left(0,a-1,1\right),\left(0,1,a-1\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-a,a-1,1\right)\right|^2\left|\left(-a,1,a-1\right)\right|^2-\left\{\left(-a,a-1,1\right)\cdot\left(-a,1,a-1\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}a\left(2-a\right)$
である．
$\left(a,0,0\right),\left(0,1,a-1\right),\left(a-1,1,0\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-a,1,a-1\right)\right|^2\left|\left(-1,1,0\right)\right|^2-\left\{\left(-a,1,a-1\right)\cdot\left(-1,1,0\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)$
である．
よって，
$S=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)+\frac{\sqrt3}{2}a\left(2-a\right)+\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)$
・ $2\leqq a<3$ のとき
断面は $\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,0,1\right),\left(a-2,1,1\right),\left(a-1,1,0\right),\left(2,a-2,0\right)$ を頂点とする五角形である．
$\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,0,1\right),\left(a-2,1,1\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-3,0,-a+3\right)\right|^2\left|\left(a-4,1,-a+3\right)\right|^2-\left\{\left(a-3,0,-a+3\right)\cdot\left(a-4,1,-a+3\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(3-a\right)$
である．
$\left(2,0,a-2\right),\left(a-2,1,1\right),\left(a-1,1,0\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-4,1,-a+3\right)\right|^2\left|\left(a-3,1,-a+2\right)\right|^2-\left\{\left(a-4,1,-a+3\right)\cdot\left(a-3,1,-a+2\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}$
である．
$\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,1,0\right),\left(2,a-2,0\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-3,1,-a+2\right)\right|^2\left|\left(0,a-2,-a+2\right)\right|^2-\left\{\left(a-3,1,-a+2\right)\cdot\left(0,a-2,-a+2\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-2\right)\left(3-a\right)$
である．
よって，
$S=\frac{\sqrt3}{2}\left(3-a\right)+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\left(a-2\right)\left(3-a\right)=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)$
以上より，
$S=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)$ ……(答)

○体積((24)～(35)について)
原点 $\mathrm{O}$ と平面 $x+y+z=a$ の距離は，
$\frac{\left|-a\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{a}{\sqrt3}$
$\therefore V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)=\frac{a}{6}\left(-a^2+4a-2\right)$
よって， $\frac{dV}{da}=\frac{1}{6}\left(-3a^2+8a-2\right)$ であり， $\frac{dV}{da}=0$ となるのは， $a=\frac{4\pm\sqrt{10}}{3}$ のとき．増減表を描くと，

$a$	$1$	$\cdots$	$\frac{4+\sqrt{10}}{3}$	$\cdots$	$3$
$\frac{dV}{da}$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$
$V$	$\nearrow$	$\nearrow$	$\frac{28+10\sqrt{10}}{81}$	$\searrow$	$\searrow$

よって，角錐の体積 $V$ は， $a=\frac{4+\sqrt{10}}{3}$ のときに最大となり，このとき， $V=\frac{28+10\sqrt{10}}{81}$ である……(答)

2016年慶応義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問1

2019.09.23

方針の立て方 (1) Aの箱に他の箱からのボールの追加をするわけだが，それぞれの箱(AとA以外)で黒ボールと白ボールの割合が違う．これこそがこの問題の難所である．数学においては「難所がある場合にはそれを分割する」ことが基本的な考え方である．そのため，Aにそもそも入っていたボールと，後からAに入ってき

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方針の立て方
(1)
Aの箱に他の箱からのボールの追加をするわけだが，それぞれの箱(AとA以外)で黒ボールと白ボールの割合が違う．これこそがこの問題の難所である．数学においては「難所がある場合にはそれを分割する」ことが基本的な考え方である．そのため，Aにそもそも入っていたボールと，後からAに入ってきたボールとて分割して考えるという方針を立てる．

(2)
前問と同様それぞれの箱で黒ボールと白ボールの割合が違うことから，これらを分割して考える必要があると判断する．ただし，本問の場合には交換の度に箱E内の割合が変わってしまうことに注意．ここも分割することになる．よって，本解答のような，交換の度に確率を考えるという方針になる．

解答例
(1)(2)(3)(4)…… $\frac{07}{19}$
(5)(6)(7)(8)…… $\frac{09}{19}$
(9)(10)(11)(12)…… $2401$
(13)(14)(15)(16)…… $657$

解説
(1)
最終的に計19個のボールがAに入っている．最初にAに入っていた黒ボールを取り出す確率と，後から加えられた黒ボールを取り出す確率を求める．
・最初にAに入っていた黒ボールを取り出す確率
19個のボールの中から最初に入っていた7個の黒ボールのどれかを取り出す確率のため $\frac{7}{19}$
・後から加えられた黒ボールを取り出す確率
19個あるボールの中から後から加えられたボールを取り出す確率が $\frac{9}{19}$ であり，後から加えられたボールの中から1個のボールを取り出したときに，それが黒ボールである確率は $\alpha$ である．これらは独立であるため，後から加えられた黒ボールを取り出す確率は， $\frac{9}{19}\alpha$ となる．
よって，求める確率は，
$\frac{7}{19}+\frac{9}{19}\alpha$ ……(答)

(2)
EとFの箱の交換の後で，Eの箱から1個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は，前問と同様に場合分けして考えると，
・最初からEに入っていた黒ボールを取り出す確率
10個あるボールの中から最初からEに入っていたボールを取り出す確率が $\frac{7}{10}$ であり，最初からEに入っていたボールの中から1個のボールを取り出したときに，それが黒ボールである確率は $\frac{7}{10}$ である．これらは独立であるため，最初からEに入っていた黒ボールを取り出す確率は， $\frac{7}{10}\cdot\frac{7}{10}=\frac{49}{100}$ となる．
・交換によってEに入ってきた黒ボールを取り出す確率
10個あるボールの中から交換によってEに入ってきたボールを取り出す確率が $\frac{3}{10}$ であり，交換によってEに入ってきたボールの中から1個のボールを取り出したときに，それが黒ボールである確率は $\alpha$ である．これらは独立であるため，最初からEに入っていた黒ボールを取り出す確率は， $\frac{3}{10}\alpha$ となる．
よって，EとFの箱の交換の後で，Eの箱から1個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は $\frac{49}{100}+\frac{3}{10}\alpha$ である．この確率を $f$ とおく．
次に，EとGの箱の交換の後で，Eの箱から1個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率を求める．この交換の前にEに入っていた黒ボールを取り出す確率と交換によってEに入ってきた黒ボールを取り出す確率を場合分けして考えて，それらの確率を足し合わせると，
$\frac{7}{10}f+\frac{3}{10}\alpha$
となる．この確率を $g$ とおく．
次に，EとHの箱の交換の後で，Eの箱から1個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率を求める．この交換の前にEに入っていた黒ボールを取り出す確率と交換によってEに入ってきた黒ボールを取り出す確率を場合分けして考えて，それらの確率を足し合わせると，
$\frac{7}{10}g+\frac{3}{10}\alpha$
となる．この確率を $h$ とおく． $h$ こそが求める確率である． $g$ と $f$ を代入すれば，
$h=\frac{7}{10}\left(\frac{7}{10}f+\frac{3}{10}\alpha\right)+\frac{3}{10}\alpha=\frac{7}{10}\left\{\frac{7}{10}\left(\frac{49}{100}+\frac{3}{10}\alpha\right)+\frac{3}{10}\alpha\right\}+\frac{3}{10}\alpha=\frac{2401}{10000}+\frac{657}{1000}\alpha$ ……(答)

2017年慶応義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問6

2019.09.23

方針の立て方 (1) ③～⑤をなるべく簡単な式で表そうと考え，③～⑤をの式に書き換える．後は，答えに当たり()をつけて，それが①～⑤の全ての条件を満たすこと(というより反しないこと)を確認すればよい．入試数学のよくある手法として，直観的に答えを予想して，それが適することを確認するという解法(解けない

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方針の立て方
(1)
③～⑤をなるべく簡単な式で表そうと考え，③～⑤を $z,y,x$ の式に書き換える．後は，答えに当たり( $y=40,z=22$ )をつけて，それが①～⑤の全ての条件を満たすこと(というより反しないこと)を確認すればよい．入試数学のよくある手法として，直観的に答えを予想して，それが適することを確認するという解法(解けない漸化式で一般項を予測して数学的帰納法で示すなどもその一例)がある．
(2)
「不満」に関する条件が付加された．これを数式に直すことがまずやるべきことである．すると，前問と同様に②を用いて，式を簡単にすることが思いつく．そこからの解法はパッとは思い浮かびにくい．そこで試しにいくつか $M$ を代入してみよう．例えば $M=-100$ (十分小さい値であれば $-1000$ でも何でも良い)を代入すると， $\begin{cases} x\leqq-48 \\ 100\leqq x \end{cases}$ となってしまい，なぜ不適かが分かり，解法が思いつくだろう．

解答例
(85)(86)……10
(87)(88)……40
(89)(90)……22
(91)(92)……11
(93)(94)……32
(95)(96)……41

解説
(1)
①～⑤を変形する(②を用いて③～⑤を $z,y,x$ の式に書き換える)と，
$\begin{cases} x,y,z\geqq0 \\ x+y+z=72 \\ z\leqq22 \\ y\leqq40 \\ x\leqq52 \end{cases}$
となる．第三式と第四式からB氏とC氏の分配額は最大でも $y=40,z=22$ と分かる． $y=40,z=22$ の場合について考えると，第二式から $x=10$ となる． $\left(x,y,z\right)=\left(10,40,22\right)$ は第一式と第五式を満たすので適当である．また，このときB氏とC氏の分配額が最高値のため，A氏の分配額は最小となる．
よって求める組み合わせは， $\left(x,y,z\right)=\left(10,40,22\right)$ ……(答)

(2)
AB両氏の不満，AC両氏の不満，BC両氏の不満，A氏の不満，B氏の不満，C氏の不満がいずれも $M$ 以下であるから，満たすべき条件は，
$\begin{cases} x,y,z\geqq0 \\ x+y+z=72 \\ 50-\left(x+y\right)\leqq M \\ 32-\left(x+z\right)\leqq M \\ 20-\left(y+z\right)\leqq M \\ -x\leqq M \\ -y\leqq M \\ -z\leqq M \end{cases}$
となる．これを変形すると，
$\begin{cases} x,y,z\geqq0 \\ x+y+z=72 \\ z\leqq M+22 \\ y\leqq M+40 \\ x\leqq M+52 \\ -M\leqq x \\ -M\leqq y \\ -M\leqq z \end{cases}$
ここで，第五式と第六式，第四式と第七式，第三式と第八式について考える．
$\begin{cases} x\leqq M+52 \\ -M\leqq x \end{cases},\begin{cases} y\leqq M+40 \\ -M\leqq y \end{cases},\begin{cases} z\leqq M+22 \\ -M\leqq z \end{cases}$
これらが全て解を持つには，
$\begin{cases} -M\leqq M+52 \\ -M\leqq M+40 \\ -M\leqq M+22 \end{cases}\Leftrightarrow-11\leqq M$
が満たされれば必要十分である．
よって， $M$ の最小値は $-11$ であり， $M=-11$ を代入すれば，
$\begin{cases} x,y,z\geqq0 \\ x+y+z=72 \\ z\leqq11 \\ y\leqq29 \\ x\leqq41 \\ 11\leqqx \\ 11\leqq y \\ 11\leqq z \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x+y+z=72 \\ 11\leqq x\leqq41 \\ 11\leqq y\leqq29 \\ 11\leqq z\leqq11\Leftrightarrow z=11 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x+y=61 \\ 11\leqq x\leqq41 \\ 11\leqq y\leqq29 \\ z=11 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x+y=61 \\ 11\leqq x\leqq41 \\ 11\leqq61-x\leqq29\Leftrightarrow32\leqq x\leqq50 \\ z=11 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x+y=61 \\ 32\leqq x\leqq41 \\ z=11 \end{cases}$
よって， $M$ を最小化する $z$ の値は $z=11$ であり， $x$ の範囲は $32\leqq x\leqq41$ である．……(答)

2017年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問5

2019.09.23

方針の立て方 (の場合を除けば)三次関数の最大最小問題なので，極値と端点のみを考察すればよいと考える．係数が文字であるため，極値が存在するか否かを考慮しなければならないことに注意．後は典型的な解法で解ける．解答例 (65)(66)…… (67)(68)…… (69)(70)…… (71)(72)

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方針の立て方
( $q=0$ の場合を除けば)三次関数の最大最小問題なので，極値と端点のみを考察すればよいと考える．係数が文字であるため，極値が存在するか否かを考慮しなければならないことに注意．
後は典型的な解法で解ける．

解答例
(65)(66)…… $03$
(67)(68)…… $-1$
(69)(70)…… $03$
(71)(72)…… $01$
(73)(74)…… $00$
(75)(76)…… $01$
(77)(78)(79)(80)…… $\frac{01}{04}$
(81)(82)(83)(84)…… $\frac{27}{08}$

解説
〇存在領域 $\mathrm{A}$ ((65)～(80)について)
$f^\prime\left(x\right)=p-qx^2$
よって，

(ⅰ)
$f\left(x\right)$ の極値が $-1\leqq x\leqq1$ に存在する条件は，「 $0<\frac{p}{q}$ かつ $-1\leqq\pm\sqrt{\frac{p}{q}}\leqq1$ 」 $\Leftrightarrow0<\frac{p}{q}\leqq1$ である．
このもとで最大値が $\frac{1}{3}$ 以下となるのは，「(極大値) $\leqq\frac{1}{3}$ かつ $f\left(\pm1\right)\leqq\frac{1}{3}$ 」が満たされれば必要十分．
$f\left(\sqrt{\frac{p}{q}}\right)=\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{q}}，f\left(-1\right)=-p+\frac{q}{3}，f\left(1\right)=p-\frac{q}{3}$ より，「(極大値) $\leqq\frac{1}{3}$ かつ $f\left(\pm1\right)\leqq\frac{1}{3}$ 」という条件は，
$\begin{cases} f\left(\sqrt{\frac{p}{q}}\right)=\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{q}}\leqq\frac{1}{3} \\ -p+\frac{q}{3}\leqq\frac{1}{3} \\ p-\frac{q}{3}\leqq\frac{1}{3} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 3p-1\leqq q\leqq3p+1 \\ \frac{p^3}{q}\leqq\frac{1}{4} \end{cases}$
となる． $0<\frac{p}{q}\leqq1$ と合わせれば，
$\begin{cases} 3p-1\leqq q\leqq3p+1 \\ 0<\frac{p}{q}\leqq1 \\ \frac{p^3}{q}\leqq\frac{1}{4} \end{cases}$ ……(答)
(ⅱ)
$f\left(x\right)$ の極値が $x<-1$ または $1<x$ に存在する条件は，「 $0<\frac{p}{q}$ かつ $-\sqrt{\frac{p}{q}}<-1$ かつ $1<\sqrt{\frac{p}{q}}$ 」 $\Leftrightarrow1<\frac{p}{q}$ である．
このもとで最大値が $\frac{1}{3}$ 以下となるのは， $f\left(\pm1\right)\leqq\frac{1}{3}$ が満たされれば必要十分．
$f\left(-1\right)=-p+\frac{q}{3}$ ， $f\left(1\right)=p-\frac{q}{3}$ より， $f\left(\pm1\right)\leqq\frac{1}{3}$ という条件は，
$\begin{cases} -p+\frac{q}{3}\leqq\frac{1}{3} \\ p-\frac{q}{3}\leqq\frac{1}{3} \end{cases}\Leftrightarrow3p-1\leqq q\leqq3p+1$
となる． $1<\frac{p}{q}$ と合わせれば，
$\begin{cases} 3p-1\leqq q\leqq3p+1 \\ 1<\frac{p}{q} \end{cases}$ ……(答)　※(ⅰ)が解ければ解答番号から答えは解かずして分かる．
(ⅲ)
$f\left(x\right)$ の極値が存在しない条件は， $\frac{p}{q}\leqq0$ または $q=0$ である．
このもとで最大値が $\frac{1}{3}$ 以下となるのは， $f\left(\pm1\right)\leqq\frac{1}{3}$ が満たされれば必要十分．
$f\left(-1\right)=-p+\frac{q}{3}$ ， $f\left(1\right)=p-\frac{q}{3}$ より， $f\left(\pm1\right)\leqq\frac{1}{3}$ という条件は，
$\begin{cases} -p+\frac{q}{3}\leqq\frac{1}{3} \\ p-\frac{q}{3}\leqq\frac{1}{3} \end{cases}\Leftrightarrow3p-1\leqq q\leqq3p+1$
となる．「 $\frac{p}{q}\leqq0$ または $q=0$ 」と合わせれば，
$\begin{cases} 3p-1\leqq q\leqq3p+1 \\ \frac{p}{q}\leqq0,q=0 \end{cases}$ ……(答)　※(ⅰ)が解ければ解答番号から答えは解かずして分かる．
よって，領域 $\mathrm{A}$ を図示すると，

上図．ただし境界を含む．
領域 $\mathrm{A}$ の面積は， $q$ 軸での対称性から，
$2\left[\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left\{3p+1-\left(3p-1\right)\right\}dp+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(3p+1-4p^3\right)dp\right]=2\left\{\left[2p\right]_0^{\frac{1}{2}}+\left[-p^4+\frac{3}{2}p^2+p\right]_{\frac{1}{2}}^1\right\}=\frac{27}{8}$ ……(答)

2017年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問4

2019.09.22

方針の立て方 (1) 具体的に題意を満たす場合を考えれば解答が得られる． (2) 前問の解法を応用する．前問では，参加者の賞金額が0円，1円となるときを考え足し合わせたので，本問では，0円，1円，2円，……，円を考え総和を取ればよい．あとは，その確率が0.5以上となるときを解析すれば解答にたどりつく

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方針の立て方
(1)
具体的に題意を満たす場合を考えれば解答が得られる．

(2)
前問の解法を応用する．前問では，参加者の賞金額が0円，1円となるときを考え足し合わせたので，本問では，0円，1円，2円，……， $c$ 円を考え総和を取ればよい．あとは，その確率が0.5以上となるときを解析すれば解答にたどりつく．

(3)
期待値の定義に従って期待値を求めていく． $4\cdot{0.8}^{100}$ という具体的に数値を書き下すのは現実的に困難な値があるが，解答で求められているのが小数第1位までのため厳密な数値は必要ないと判断する．本解説ではその件を丁寧に論述したが，本番では途中経過は求められないため，直観的に ${0.8}^{100}$ は殆ど無視できると考え，4.0と即答してもよいだろう．

解答例
(57)(58)(59)……0.36
(60)(61)……03
(62)(63)(64)……04.0

解説
コインで裏が出る確率は $1-0.8=0.2$
(1)
・参加者の賞金額が0円となる確率
1回目で裏が出れば必要十分……0.2
・参加者の賞金額が1円となる確率
１回目で表を出し，2回目で裏が出れば必要十分…… $0.2\times0.8=0.16$
よって，求める確率は，
$0.2+0.16=0.36$ ……(答)

(2)
求める $c$ は100ではない．よって，以下では $0\leqq c\leqq99$ の範囲で考える．
参加者の賞金額が $n$ 円( $0\leqq n\leqq99$ )となる確率は， $n$ 回目まで表を出し， $n+1$ 回目で裏が出す確率と等しく， $0.2\times{0.8}^n$ ．
よって，賞金額が $c$ 円( $0\leqq c\leqq99$ )以下となる確率は，
$\sum_{n=0}^{c}\left(0.2\times{0.8}^n\right)=\frac{0.2\left(1-{0.8}^{c+1}\right)}{1-0.8}=1-{0.8}^{c+1}$
これが0.5以上となるのは， $1-{0.8}^{c+1}\geqq0.5\Leftrightarrow0.5\geqq{0.8}^{c+1}$ ．
${0.8}^3=0.512,{0.8}^4=0.4096$ より，上記不等式を満たす最小の $c$ は， $c+1=4\Leftrightarrow c=3$ ……(答)

(3)
参加者の賞金額が100円となる確率は100回表を出す確率と等しく ${0.8}^{100}$ ．
よって，期待値は，
$\sum_{n=0}^{99}{n\cdot\left(0.2\times{0.8}^n\right)}+100\cdot{0.8}^{100}=0.2\times\sum_{n=0}^{99}{n\cdot{0.8}^n}+100\cdot{0.8}^{100}$
ここで，
$\sum_{n=0}^{99}{n\cdot{0.8}^n}=1\cdot0.8+2\cdot{0.8}^2+3\cdot{0.8}^3+\cdots\cdots+99\cdot{0.8}^{99}$
$0.8\times\sum_{n=0}^{99}{n\cdot{0.8}^n}=1\cdot{0.8}^2+2\cdot{0.8}^3+3\cdot{0.8}^4+\cdots\cdots+99\cdot{0.8}^{100}$
より，両辺を引き算すると，
$0.2\times\sum_{n=0}^{99}{n\cdot{0.8}^n}=\left(0.8+{0.8}^2+{0.8}^3+{0.8}^4+\cdots\cdots+{0.8}^{99}\right)-99\cdot{0.8}^{100}=\frac{0.8\left(1-{0.8}^{99}\right)}{1-0.8}-99\cdot{0.8}^{100}=4-104\cdot{0.8}^{100}$
よって，期待値は，
$4-104\cdot{0.8}^{100}+100\cdot{0.8}^{100}=4-4\cdot{0.8}^{100}$
となる．これの小数点第2位以下を四捨五入するために $4\cdot{0.8}^{100}$ の値について考える．
まず， ${0.8}^4=0.4096<\frac{1}{2}$ より ${0.8}^{100}<\left(\frac{1}{2}\right)^{25}$
さらに， $\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}<\frac{1}{1000}={10}^{-3}$ より， ${0.8}^{100}<\left(\frac{1}{2}\right)^{25}<\left(\frac{1}{2}\right)^{20}<{10}^{-6}$ となる．
$\therefore4-4\times{10}^{-6}<4-4\cdot{0.8}^{100}<4$
以上より，期待値の小数点第2位以下を四捨五入すると，4.0……(答)

2017年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問3

2019.09.22

方針の立て方の範囲((31)～(34))については，が図形的にどのような意味を持つのかを考えることで解法を得る．図形と方程式の問題では，数式を図形に，或いは図形を数式に直して考えることが重要である．長方形の面積とその最大値((35)～(56))については典型的な問題であるため，特筆事項なし．解

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方針の立て方
$d$

の範囲((31)～(34))については， $d$

が図形的にどのような意味を持つのかを考えることで解法を得る．図形と方程式の問題では，数式を図形に，或いは図形を数式に直して考えることが重要である．
長方形 $\mathrm{ABCD}$

の面積とその最大値((35)～(56))については典型的な問題であるため，特筆事項なし．

解答例
(31)(32)(33)(34)…… $\frac{-1}{08}$
(35)(36)(37)…… $008$
(38)(39)(40)…… $-15$
(41)(42)(43)…… $006$
(44)(45)(46)…… $001$
(47)(48)(49)(50)…… $\frac{01}{04}$
(51)(52)…… $03$
(53)(54)…… $03$
(55)(56)…… $04$

解説
○ $d$ の範囲((31)～(34)について)
$d$ は線分 $\mathrm{BC}$ の切片に当たる．線分 $\mathrm{BC}$ の切片の下限は，直線 $\mathrm{BC}$ が放物線 $y=\frac{1}{2}x^2$ の接線となるとき．
$y=\frac{1}{2}x^2\Rightarrow y^\prime=x$ より，直線 $\mathrm{BC}$ が放物線 $y=\frac{1}{2}x^2$ の接線となるとき，接点は $\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{8}\right)$ となる．このとき直線 $\mathrm{BC}$ の切片 $d_{inf}$ は，
$\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+d_{inf}\Leftrightarrow d_{inf}=-\frac{1}{8}$
$\therefore-\frac{1}{8}<d<1$ ……(答)

〇長方形 $\mathrm{ABCD}$ の面積((35)～(46)について)
$y=\frac{1}{2}x+d$ と $y=\frac{1}{2}x^2$ の交点 $\mathrm{B}$ ， $\mathrm{C}$ の座標は， $\mathrm{B}\left(\frac{1-\sqrt{1+8d}}{2},\frac{1+4d-\sqrt{1+8d}}{4}\right)$ ， $\mathrm{C}\left(\frac{1+\sqrt{1+8d}}{2},\frac{1+4d+\sqrt{1+8d}}{4}\right)$
$\therefore\mathrm{BC}=\sqrt{\left(\frac{1+\sqrt{1+8d}}{2}-\frac{1-\sqrt{1+8d}}{2}\right)^2+\left(\frac{1+4d+\sqrt{1+8d}}{4}-\frac{1+4d-\sqrt{1+8d}}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{5\left(1+8d\right)}}{2}$
線分 $\mathrm{AB}$ の長さは，線分 $\mathrm{AB}$ が直線 $y=\frac{1}{2}x+1$ と直交することより，点 $\mathrm{B}$ と直線 $y=\frac{1}{2}x+1$ との距離に等しい． $-\frac{1}{8}<d<1$ より， $0<1-d$ であることに注意すると，
$\mathrm{AB}=\frac{\left|-\frac{1-\sqrt{1+8d}}{2}+2\cdot\frac{1+4d-\sqrt{1+8d}}{4}-2\right|}{\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2}}=\frac{2\left(1-d\right)}{\sqrt5}$
よって，求める面積は，
$\frac{\sqrt{5\left(1+8d\right)}}{2}\cdot\frac{2\left(1-d\right)}{\sqrt5}=\sqrt{8d^3-15d^2+6d+1}$ ……(答)

〇長方形 $\mathrm{ABCD}$ の面積の最大値((47)～(56)について)
$f\left(d\right)=8d^3-15d^2+6d+1$ とおくと， $f^\prime\left(d\right)=24d^2-30d+6=6\left(4d-1\right)\left(d-1\right)$ となる．
増減表を描くと，

$d$	$-\frac{1}{8}$	$\cdots$	$\frac{1}{4}$	$\cdots$	$1$
$f^\prime\left(d\right)$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$
$f\left(d\right)$	$\nearrow$	$\nearrow$	$\frac{27}{16}$	$\searrow$	$\qquad$

よって，長方形 $\mathrm{ABCD}$ の面積は $d=\frac{1}{4}$ のときに，最大値 $\sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt3}{4}$ となる．……(答)

2017年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問2

2019.09.22

方針の立て方 (15)～(22)については解説に書いた通り． (23)～(30)については，前問で証明した命題を具体的に適用する問題となっている．一発で思いつくのは現実問題不可能であるため，証明の方法に従ってやっていく．証明では，が偶数のときと奇数のときで場合分けしていて，が偶数のときは2で割った自

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方針の立て方
(15)～(22)については解説に書いた通り．
(23)～(30)については，前問で証明した命題を具体的に適用する問題となっている．一発で思いつくのは現実問題不可能であるため，証明の方法に従ってやっていく．証明では， $n$ が偶数のときと奇数のときで場合分けしていて， $n$ が偶数のときは2で割った自然数を， $n$ が奇数のときは $3^k\leqq n<3^{k+1}$ となる $k$ を用いて $n-3^k$ と表される自然数をそれぞれ考察することで， $n$ より小さい自然数に還元していくという方法であった．本問でもこれに倣い $2017$ が奇数であることから $3^k\leqq2017<3^{k+1}$ となる $k$ を求め，その後 $2017-3^6=1288$ を考察する．その後 $1288$ は偶数だから……といった具合に，どんどん考察する自然数を小さくしていく．

解答例
(15)……7
(16)……2
(17)……8
(18)……6
(19)……7
(20)……2
(21)……6
(22)……5
(23)……8
(24)……0
(25)……7
(26)……1
(27)……3
(28)……4
(29)……0
(30)……6

解説
○(16)について
$n$ が偶数のため， $\frac{n}{2}$ は自然数かつ $n$ より小さい．よって，帰納法の仮定が適用できる．

〇(18)について
任意の $n$ に対して $3^k\leqq n<3^{k+1}$ となるような $k$ はただ一つに決まる．

〇(19)と(20)について
「前半の議論により」とあるので，偶数のときと同じ議論が適用できると分かる．

〇(21)と(22)について
(18)での解答： $3^k\leqq n<3^{k+1}$ より， $n-3^k<3^{k+1}-3^k$ ……(21)
また， $3^{k+1}-3^k=3\cdot3^k-3^k=2\cdot3^k$ より，
$\frac{3^{k+1}-3^k}{2}=3^k$ ……(22)

〇(23)～(30)について
$2017$ は奇数であり， $3^k\leqq2017<3^{k+1}$ となる $k$ は $k=6$ である． $2017-3^6=1288$ ．
$1288$ は偶数であり， $\frac{1288}{2}=644$ ．
$644$ は偶数であり， $\frac{644}{2}=322$ ．
$322$ は偶数であり， $\frac{322}{2}=161$ ．
$161$ は奇数であり， $3^k\leqq161<3^{k+1}$ となる $k$ は $k=4$ である． $161-3^4=80$ ．
$80$ は偶数であり， $\frac{80}{2}=40$ ．
$40$ は偶数であり， $\frac{40}{2}=20$ ．
$20$ は偶数であり， $\frac{20}{2}=10$ ．
$10$ は偶数であり， $\frac{10}{2}=5$ ．
$5$ は奇数であり， $3^k\leqq5<3^{k+1}$ となる $k$ は $k=1$ である． $5-3^1=2$ ．
$\therefore2017=3^6+1288=3^6+2\cdot644=3^6+2^2\cdot322=3^6+2^3\cdot161=3^6+2^3\cdot\left(80+3^4\right)=3^6+2^3\cdot3^4+2^3\cdot80=3^6+2^3\cdot3^4+2^4\cdot40=3^6+2^3\cdot3^4+2^5\cdot20=3^6+2^3\cdot3^4+2^6\cdot10=3^6+2^3\cdot3^4+2^7\cdot5=3^6+2^3\cdot3^4+2^7\cdot2+3=2^8\cdot3^0+2^7\cdot3^1+2^3\cdot3^4+2^0\cdot3^6$ ……(答)