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2021年早稲田大学理工学部英語入試分析 2022年度合格するためには何をしたら良いのか

2021.03.20

全体講評難易度 ☆☆☆☆　長文文字数1,446文字出題傾向や全体としての分量などは昨年とほぼ変わりません。本学部の英語は日本の全大学の中でもトップレベルの難易度となっており、多くの受験生にとって厳しい内容です。特にpart1の文章は例年専門性が高く難解な内容のものが出題されており、今年も難解

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全体講評

難易度 ☆☆☆☆　長文文字数1,446文字

出題傾向や全体としての分量などは昨年とほぼ変わりません。
本学部の英語は日本の全大学の中でもトップレベルの難易度となっており、多くの受験生にとって厳しい内容です。

特にpart1の文章は例年専門性が高く難解な内容のものが出題されており、今年も難解な内容でした。
確実に取れるところを見極めてひとつのところに時間を使いすぎないように気をつけましょう。意外と解きやすい問題も結構あるのでそうした問題に時間を使うのが大事になります。簡単な問題が時間がなくて解けないなどということがないようにしてください。

PartⅠ

例年通り3つのパッセージを読んでいくタイプの長文読解問題でした。視覚認知と専門的能力の関係性についての内容でしたが、TextⅠが特に難易度が高かった印象です。
ただしTextⅡとTextⅢは比較的読みやすいものでしたので、そこで稼げていれば合格点は確保できるでしょう。
試験全体のタイムマネジメントを考えると、ここは他よりも時間を食いがちなセクションなので、先に他のセクションを解いてからやるようにするといいかもしれません。

PartⅡ　

例年通りの整序問題です。文章の内容は熱電発電の活用についての内容でしたが、昨年度と比して特に難易度が変化している印象はありません。

PartⅢ　

例年と変わらずAが長文の空所補充問題、Bが文・段落整序問題でした。
今年度のA問題は音楽と人間の感情についての内容で、昨年度のブラックホールについての文章に比べるとかなり読みやすかったはずです。
問題は文法知識でほぼ解けるようになっているので、ここで取りこぼしが多いと他で稼がなくてはならなくなり、そのぶん合格が難しくなってしまいます。
Bに関しては2題しかないうえにそれなりに難易度が高いので、苦手な人は最後に回しても良いかもしれません。一番最悪なのは時間をかけた問題を間違えることなので、自分の得意不得意を見極めて問題を解く順番を事前に決めておきましょう。

PartⅣ

このセクションは去年に比べてAの部分が形式としてやや変化しました。去年は一続きの文章であったのが、今年は短文問題に切り替わっています。ただし全体の難易度としてはそれほど変化は無く、引き続き本学部の問題の中では解きやすいセクションであることに変わりはありません。

PartⅤ

　　例年通り、英語の定義と例文から単語を特定する語彙問題でした。毎年それほど難しい単語は出題されませんが、解答形式に慣れていないと予想以上に時間を喰ってしまう可能性があります。スムーズに解答できるように過去問での練習は必須です。このセクションで確実に高得点を取りたいということであれば普段から英英辞書を使うようにしてみてください。慣れないうちは大変かもしれませんが、場合によっては英和辞書よりも単語のイメージが掴みやすい場合も多々あります。時間があるのであれば自身の使っている単語帳に載っている単語を英英で調べ直すと良いでしょう。おおよその目安として4000~5000語（共通試験や英検2級相当）レベルの語彙があれば普通に英英辞典を読むことができます。もちろんこれは別に一気にやることではないので1日10語など毎日コツコツやっていきましょう。語学の勉強はとにかく1日1日の積み重ねになりますので根気強く学習していってください。

2022年に早稲田理工に合格するためにすることは？参考書は？

早稲田理工に合格するためには、文法力とともに難解な文章を読み切るための長文読解力が必要になります。勉強法の詳細はこちらで紹介しています。

文法問題は基本的には桐原1000やヴィンテージ、アップグレードといった網羅系の問題集を一冊完璧にし終えた後で、整序問題を練習していきましょう。
整序問題は河合の500か門脇先生のをやっておくと良いでしょう。
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長文問題については、難易度が非常に高いです。普段から理系の長文を読み慣れていないと通常の英語長文問題集だと対処できません。Natureなどの理系論文を読んでいくと良いでしょう。
長文自体のテーマが他大学や市販の教材に出てくるような頻出テーマが出てくることは少なく、語彙レベルも高いので過去問を徹底的に研究することが合格への近道になります。
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慶應・早稲田大学への受験を控えている保護者様へ

慶應・早稲田大学の受験には学校別の対策が必須になります。慶應・早稲田合格に特化したHIRO ACADEMIAが完全サポート致します。

2021年早稲田大学文化構想学部英語入試分析 2022年度合格するためには何をしたら良いのか

2021.03.01

全体総括難易度 ☆☆　総文字数 2248文字大問数は昨年と変わらず、英文の文量もほとんど変化していませんでした。全体の難易度も昨年とほぼ変わらないので、過去問で合格点を取れていた人は問題なく解けたはずです。問題Ⅰ A・Bともにシンプルな空所補充問題となっています。 Aは人類史の文明についての

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全体総括

難易度 ☆☆　総文字数 2248文字

大問数は昨年と変わらず、英文の文量もほとんど変化していませんでした。
全体の難易度も昨年とほぼ変わらないので、過去問で合格点を取れていた人は問題なく解けたはずです。

問題Ⅰ

A・Bともにシンプルな空所補充問題となっています。
Aは人類史の文明についての話、Bはアメリカの多文化社会で育った人の話でした。全体としては昨年とほぼ変わらない難易度でしたが、所々に受験生にとってなじみの薄い単語や表現が見られました。特にB-9のlull O to sleep（Oをうとうとさせる、寝かしつける）は難易度の高い問題だったかと思われます。このような問題に出会ったときに悩んで時間を使ってしまうのは一番の悪手です。難問に早めに見切りをつけて捨てる勇気を持つことも時には大切になります。過去問演習に取り組む際にはそのあたりの肌感覚を身に着けることも意識しましょう。

問題Ⅱ

短めの文章A・Bとやや長めの文章Cについて文章の内容を問われる一般的な長文問題です。Aは道徳的想像力、Bは西洋建築の歴史、CはコロナとAIについての話でした。こちらの設問も特に昨年と比して難しいということはなかったはずです。
基本的にこのセクションは設問が平易でわかりやすいことが多いので、しっかりと点数を稼いでいきたいです。
逆にいえばここで間違えれば間違えるほど合格は遠ざかっていきますので変な取りこぼしは絶対にしないようにしてください。たしかに、laud（賞賛する　本文では受動態の形）やovertone（含蓄）など英検1級レベル相当の単語もちょいちょい出てきますが、前後の文脈が取れていれば読み進めることは可能なので難単語に出会っても立ち止まらないようにしましょう。よく速読が大事と言われますが、速く読むというよりは変に止まって時間を浪費しないことが重要なので、演習の際にはそのあたりも意識してみてください。

問題Ⅲ

文章補充問題のみの問題構成です。内容は甘やかされた子どもに関する話でした。問題自体がとても難しいというわけではありませんが、ここ以外の設問に比べ難単語が多かったような印象を受けます。a flurry of（立て続けの）、iteration（反復）、stir up（刺激する）、denunciation（弾劾）、altruism（利他主義）、aphorism(警句）、pathological（病的）などの単語を全ておさえるとなるとかなりの語彙力を要しますので、難しく感じた受験生は多かったかもしれません。
この手の問題はとにかくわかるところから埋めていくのが鉄則です。選択肢が絞れてくると解きやすくなる問題もありますので、わからない部分があってもとりあえず先に進みましょう。

問題Ⅳ

会話文の空所を補充する問題になります。今回は外食についての夫婦の会話でしたが、ここでは基本的に内容そのものというよりも熟語や会話表現の方を問われています。
熟語や会話表現は単語に比べて手薄になりがちですので、本学部を受ける受験生は普段から意識して表現を増やす努力をしましょう。35のdrone on（抑揚のない声で話す）などが載ってる熟語帳はあまりありませんので、このセクションで点数を稼ぎたい場合は、普段の演習の際にアンテナをはって表現を拾っていく必要があります。

問題Ⅴ

２パラ前後の文を英文で要約する問題です。最近の傾向通り、今年も書き出しの部分が与えられてその後に4~10語を書くかたちでした。
内容は社会的役割とコミュニケーションについての話題で、英文自体は平易でわかりやすく要旨を掴むこと自体はそれほど苦労しなかったはずです。

ただし内容がわかっていても答案にそれを示せなければ点数は入ってきません。たかだか数語の英作文ではありますが、それゆえ部分点もあまり期待できないのでしっかり完答して確実に点数をもぎとってほしいです。
この形式は慣れが必要になりますので、本学部の受験生は必ず過去問で繰り返し練習をしてください。

2022年に早稲田文化構想に合格するためにすることは？参考書は？

早稲田文化構想学部に合格できる学力をつけるために合否を握るのは、問題Ⅱ内容一致問題と問題Ⅲ 文章整序問題でしょう。
この二つの問題を解けるようになるためには、内容一致は主張と内容を理解するための読解力と単語力が必要です。
早慶レベルの読解力の基礎力として筆者の主張を正確に理解することがポイントになってきます。そのための基礎力を養う教材として、パラグラフリーディングナビをやっておくと良いでしょう。
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今回コロナウィルスといった時事的な内容も出たことも考えると世の中に対しての感度も重要です。

また、問題Ⅲの文章整序問題を解けるようになるためには、代名詞、接続詞、定冠詞、時制、主語といった点を見て文章同士のつながりを見抜けるようになる必要があります。単に内容を読んだだけで解くとという読み方では確実な根拠を導き出すのは難しいでしょう。

なかなか類問を取り扱っている問題がないのですが、レベル別問題集などの難度の高い問題集をつかって、自分で文章を取り除いてみて説明をしてみてたり、過去問に取り組むのが良いでしょう。

2021年度慶應大学経済学部入試分析 2022年合格するためには何をしたら良いのか

2021.02.25

全体総括難易度 ☆☆　総文字数 2429文字 2021年度は課題文のテーマも顔認証と自動運転技術の話と読みやすく、問題形式も特異なものではないため早慶の中では比較的に取り組みやすい問題と言えるでしょう。 B方式の受験者は英語のみので足切りとなっているため、長文でいかに点数を落とさないかが合否の鍵を

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全体総括

難易度 ☆☆　総文字数 2429文字

2021年度は課題文のテーマも顔認証と自動運転技術の話と読みやすく、問題形式も特異なものではないため早慶の中では比較的に取り組みやすい問題と言えるでしょう。
B方式の受験者は英語のみので足切りとなっているため、長文でいかに点数を落とさないかが合否の鍵を握ります。

また英作文が入試の点数の半分以上を占めています。今年度は課題文は読みやすかったのですが、書いたことのあるお題ではない生徒が多かったので、苦労した学生も多かったのではないのでしょうか。
毎年同じ形での出題ですので、フォーマットを決めて書いていくことができるかが鍵となっています。

大問ⅠⅡ Ⅲ リーディングパート

大問1から3の長文はここ数年変わらない形式で一つのテーマに対してどちらかの主張をするという二項対立を意識した文章でした。

大問1
文章難易度 ☆
大問1は空欄補充のみの問題で1、5,6,8はパラグラフ全体の論旨から回答を出す必要があり、少し難しいが過去問と同程度のレベルであり答えを出すのに困るレベルではありません。また、慶應経済の特徴として9のように長文問題にみせて文法・構文把握を問う問題は多いので、「慶應経済は文法の問題が出ないから文法の練習はしなくてよい！」と考えるのはいけません。
時間配分は、12分程度。716words.

大問2
文章難易度 ☆
大問2は、大問1と対になる問題となっています。空欄補充と内容一致の両方の形式で出題されます。空欄補充は苦手な人が多いですが、パラグラフ全体の論旨をまとめる勉強と文構造から考える練習をしていれば解くのは難しくありません。21、22が推論問題でやや難度が高いですが、過去問で既出の問題形式ですので困る人はいないでしょう。
また、アクセント問題が毎年出てるので受験者は、単語の勉強の時に覚えていくといいでしょう。難問は出ないので、落とすと大きいです。
時間配分18分程度。776words.

大問3
文章難易度 ☆☆
大問3は単独でのテーマでの出題です。今年のテーマは自動運転でした。新規性のあるテーマだったので、知らない人も多かったかもしれませんが、慶應大学をうけるのであれば小論文を書く際に日本語の文献を読んでいる人も多いので、知らないというのはいけません。文章自体は平易な文章のため文章を読めなかった・・という人は少なかったでしょう。問題形式は大問2と同じ、内容一致と空欄補充、アクセント問題、意図確認問題となりました。
33,34の筆者の意図を確認する問題が単なる内容一致ではないという点を考えるとやや難しいのですが、普段から助動詞、形容詞を意識して主張を読む勉強をしていれば得点するのは難しくないでしょう。
937words.時間配分22分程度。

大問Ⅳ、Ⅴ 英作文パート

大問Ⅳ

時間配分5分程度
和文英作文問題です。今回の場面はコンビニでのバイトでした。「3日連続の無断欠勤」という表現が少し難しいですが、あとは仮定法を使ったりと過去問でも使っている表現でした。

大問Ⅴ
時間配分15-18分程度

字数制限はないですが、大体120ー150文字程度書いていれば合格点となります。
毎年出ている形式でフォーマット、パターン化できるので合格点を取るのは難しくありません。今回のテーマは書いたことのない人も多かったかもしれませんが、参考文献として本文を使えるので、困った人は少ないでしょう。
普段からの勉強としては、中学レベルの英文法でミスなく文法的に正しく書けることこの点につきます。

2022年に慶應経済学部に合格するためにすることは？

慶應経済に合格したいのであれば、第一に英作文能力です。なんといっても200点中110点は英作文ですので。。
速く文法的に正確に書くことのできる作文能力を鍛えてください。現役生は文章を書き慣れていない子が多いです。
慶應経済を目指すのであれば、英検やその他各種検定試験を使って、春先から文章を書きなれるのが良いでしょう。
塾に行けない・・・学校で添削してもらえない・・・という場合は英語添削アイディー
といった英語添削サービスを使ってみると良いでしょう。

また、中学レベルの英作文能力に不安のある人は、瞬間英作文トレーニングを使って英作文能力を鍛えてください。
[itemlink post_id="17783"]
リーディングは、瞬時に全体像を捉えるマクロ的な視点で長文を捉えることができること、一方でミクロ的な視点で文構造を捉え、文法的な視点で問題を見ることができることが合格点を取るまでの重要な指標になるでしょう。
難しい長文を読むよりは、いかに平易な長文を正確に読解して答えの根拠をとることができるかが重要になってきます。
具体的な参考書としては、まずは語数が少なく復習もしやすいソリューションシリーズをやり込むのが良いと思います。
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慶應経済の英語の勉強法についてはこちらに記載していますので確認してください。
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慶應・早稲田大学への受験を控えている保護者様へ

慶應・早稲田大学の受験には学校別の対策が必須になります。慶應・早稲田合格に特化したHIRO ACADEMIAが完全サポート致します。

2018年慶應大学商学部数学|過去問徹底研究大問3

2019.10.14

慶應大学商学部数学方針の立て方 (ⅰ)は具体的に考えてみれば解答が得られる． (ⅱ)(ⅲ)は誘導に乗っていければ解説以上の特筆事項はない．コンビネーションの公式：は本問では度々使う．入試数学(特に文系数学)には必須の公式ではないが，余力のある受験生は覚えておいても良いかもしれない．この公式を覚えてな

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慶應大学商学部数学方針の立て方

(ⅰ)は具体的に考えてみれば解答が得られる．
(ⅱ)(ⅲ)は誘導に乗っていければ解説以上の特筆事項はない．コンビネーションの公式： ${{_m^}\mathrm{C}}_n={{_{m-1}^}\mathrm{C}}_n+{{_{m-1}^}\mathrm{C}}_{n-1}$ は本問では度々使う．入試数学(特に文系数学)には必須の公式ではないが，余力のある受験生は覚えておいても良いかもしれない．この公式を覚えてなくとも本問では回答欄の形式から，どう変形していけば良いかが分かる．

解答例

(ⅰ)
(45) $0$
(46) $5$
(47)(48) $10$
(49) $0$
(50) $5$
(51)(52) $\frac{3}{8}$
(53)(54) $10$
(55)(56) $15$
(57)(58) $\frac{1}{8}$

(ⅱ)
(59) $3$
(60) $3$
(61) $2$
(62) $2$
(63) $4$
(64) $4$
(65) $2$
(66) $5$
(67) $7$
(68) $5$
(69) $7$
(70) $6$
(71) $5$
(72) $6$
(73) $5$
(74) $7$
(75) $5$
(76) $2$
(77) $5$

(ⅲ)
(ア) $k-1$
(イ) $\frac{k}{2}$
(ウ) $\frac{k}{2}$
(エ) $p-q$
(オ) $\frac{k}{2}$
(カ) $k$
(キ) $\frac{k}{2}$
(ク) $\frac{k+1}{2}$
(ケ) $\frac{k-1}{2}$
(コ) $\frac{k+1}{2}$
(サ) $\frac{k+1}{2}$
(シ) $t=0$

解説

(ⅰ)
客3の待ち時間は0,5,10分のいずれか．
$W\left(3,0\right)=\frac{1}{2}W\left(2,0\right)+\frac{1}{2}W\left(2,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
$W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}W\left(2,0\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
$W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}W\left(2,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
よって，
$W\left(3,0\right)=\frac{1}{2},W\left(3,5\right)=W\left(3,10\right)=\frac{1}{4}$ ……(答)
客4の待ち時間は0,5,10,15分のいずれか．
$W\left(4,0\right)=\frac{1}{2}W\left(3,0\right)+\frac{1}{2}W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$
$W\left(4,5\right)=\frac{1}{2}W\left(3,0\right)+\frac{1}{2}W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$
$W\left(4,10\right)=\frac{1}{2}W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$
$W\left(4,15\right)=\frac{1}{2}W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$
よって，
$W\left(4,0\right)=W\left(4,5\right)=\frac{3}{8},W\left(4,10\right)=W\left(4,15\right)=\frac{1}{8}$ ……(答)

(ⅱ)
〇(59)～(62)について
$W\left(k,5\left(k-1\right)\right)$ に対して帰納法の仮定が使える． $k+\left(k-1\right)=2k-1$ は奇数であるから，④の $n+t$ が奇数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\left(k-1\right)\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(k-1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_{k-1}=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_k$ ……(答)
〇(63)～(65)について
$W\left(k,5\left(k-2\right)\right)$ に対して帰納法の仮定が使える． $k+\left(k-2\right)=2k-2$ は偶数であるから，④の $n+t$ が偶数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\left(k-2\right)\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(k-2\right)}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_{k-1}=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_k$ ……(答)
〇(66)と(67)について
題意を満たす場合，時系列を図示すると，

上図．
Aの手続きは5分かかり，Bの手続きは15分かかることから， $W\left(k+1,5t\right)$ は，客 $k$ が $10+5t-5=5\left(t+1\right)$ 分待った後にAを行う確率と，客 $k$ が $10+5t-15=5\left(t-1\right)$ 分待った後にBを行う確率の和になる．……(答)

〇(68)～(72)について
$W\left(k,5\left(t+1\right)\right),W\left(k,5\left(t-1\right)\right)$ は，④で $t\rightarrow t+1,t-1$ としたものと考える．すると $n+t$ が奇数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\left(t+1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)-1}{2},W\left(k,5\left(t-1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)-1}{2}$ ……(答)
これらを⑤に代入すれば，
$W\left(k+1,5t\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}$ ……(答)
(※最後の式変形の際， ${_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t}{2}-1}=\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}-1\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}+\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}-1\right)!}=\left(\frac{k-t}{2}\right)\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}+\left(\frac{k+t}{2}\right)\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}=k\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}=\frac{k!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}={_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}$ を用いた)
〇(73)～(77)について
$W\left(k,5\left(t+1\right)\right),W\left(k,5\left(t-1\right)\right)$ は，④で $t\rightarrow t+1,t-1$ としたものと考える．すると $n+t$ が偶数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\left(t+1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)}{2},W\left(k,5\left(t-1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)}{2}$ ……(答)
これらを⑤に代入すれば，
$W\left(k+1,5t\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t+1}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t+1}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t+1}{2}$ ……(答)

(ⅲ)
〇(ア)～(ウ)について
$W\left(k,5\right),W\left(k,0\right)$ は④の $n=k,t=1,0$ のパターンであり， $n+t$ が奇数，偶数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1-1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2},\ W\left(k,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+0}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}$ ……(答)
〇(エ)について
${_p^}\mathrm{C}_q=\frac{p!}{\left(p-q\right)!q!}=\frac{p!}{\left\{p-\left(p-q\right)\right\}!\left(p-q\right)!}={_p^}\mathrm{C}_{p-q}$ ……(答)
〇(オ)～(キ)について
(エ)の結果より ${_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}={_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}$ である．
(ア)～(ウ)の結果を⑥に代入して，
$W\left(k+1,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}$ ……(答)
(※最後の式変形の際， ${_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}=\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}-1\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}+\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}-1\right)!}=\frac{k}{2}\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}+\frac{k}{2}\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}=k\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}=\frac{k!}{\left(k-\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}={_k^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}$ を用いた)
〇(ク)～(ケ)について
$W\left(k,5\right),W\left(k,0\right)$ は④の $n=k,t=1,0$ のパターンであり， $n+t$ が偶数，奇数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2},\ W\left(k,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+0-1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k-1}{2}$ ……(答)
〇(コ)と(サ)について
(ク)～(ケ)の結果を⑥に代入して，
$W\left(k+1,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+1}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}$ ……(答)
〇(シ)について
$W\left(k+1,0\right)$ は $n=k+1$ のときの中でも，(ⅱ)で考えられていなかった $t=0$ のときである．……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問4

2019.10.09

方針の立て方どれも基本問題であり，特筆事項なし．解答例真数条件より，が必要． (1) 2次方程式の実数解が存在しないためには，判別式が負であれば必要十分．これは真数条件を満たす． ……(答) (2) 2次方程式の実数解がただ1つ存在するためには，判別式が0であれば必要十分．このもとで，2次

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方針の立て方

どれも基本問題であり，特筆事項なし．

解答例

真数条件より， $0<t$ が必要．
(1)
2次方程式の実数解が存在しないためには，判別式が負であれば必要十分．
$\therefore\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}<0\Leftrightarrow\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4\right\}<0\Leftrightarrow \begin{cases} {\mathrm{log}}_2{t}\neq0 \\ \left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4<0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t\neq1 \\ \frac{1}{4}<t<4 \end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{4}<t<1,1<t<4$
これは真数条件を満たす．
$\therefore\frac{1}{4}<t<1,1<t<4$ ……(答)

(2)
2次方程式の実数解がただ1つ存在するためには，判別式が0であれば必要十分．
$\therefore\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}=0\Leftrightarrow\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4\right\}=0\Leftrightarrow{\mathrm{log}}_2{t}=0,\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{4},1,4$
このもとで，2次方程式の解は，
$x=f\left(t\right)=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1$
これより， $f\left(t\right)$ の最小値は $t=1$ で，最大値は $t=\frac{1}{4},4$ でとる．
よって， $f\left(t\right)$ の最小値は $f\left(1\right)=1$ ，最大値は $f\left(\frac{1}{4}\right)=f\left(4\right)=5$ ……(答)

(3)
$1\leqq\log_4{t}\leqq\frac{3}{2}\Leftrightarrow2\leqq\log_2{t}\leqq3\Leftrightarrow4\leqq t\leqq8$
よって，2次方程式は2つの相異なる実数解をもち，その解は，
$x=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\pm\sqrt{\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}}=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\pm\log_2{t}\sqrt{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4}$
$\therefore f\left(t\right)=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1-\log_2{t}\sqrt{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4}$
ここで ${\mathrm{log}}_2{t}=y$ と置き換えると，
$f\left(t\right)=y^2+1-y\sqrt{y^2-4}$ 　( $2\leqq y\leqq3$ )
$\frac{d}{dy}f\left(t\right)=2y-\frac{2y^2-4}{\sqrt{y^2-4}}$
$\frac{d}{dy}f\left(t\right)=0$ となるのは，
$2y-\frac{2y^2-4}{\sqrt{y^2-4}}=0\Leftrightarrow y\sqrt{y^2-4}=y^2-2$
両辺を2乗して計算すると $0=4$ となり不適．つまり $\frac{d}{dy}f\left(t\right)\neq0$

$y$	$2$	$\cdots$	$3$
$\frac{d}{dy}f\left(t\right)$	$-$	$-$	$-$
$f\left(t\right)$	$\searrow$	$\searrow$	$\searrow$

よって，最小値は $y=3$ のときで， $3^2+1-3\sqrt{3^2-4}=10-3\sqrt5$ ……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問2

2019.10.09

方針の立て方 (1)はどれも基本問題であるため特筆事項なし． (2)について．は分子を和の形に直すと，約分ができ回答欄の形式に沿うと分かる．よって，を和の形に変形するが，これはの定義を用いれば容易い． (3)について．前問で求めたの分母を上手く約分できないかを考えれば，本解のような式変形ができる．

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方針の立て方

(1)はどれも基本問題であるため特筆事項なし．

(2)について． $\frac{b_k}{a_ka_{k+1}}$ は分子を和の形に直すと，約分ができ回答欄の形式に沿うと分かる．よって， $b_k$ を和の形に変形するが，これは $b_k$ の定義を用いれば容易い．

(3)について．前問で求めた $S_n$ の分母を上手く約分できないかを考えれば，本解のような式変形ができる．

解答例

(13) $3$
(14) $2$
(15) $2$
(16) $1$
(17) $1$
(18)(19) $-1$
(20) $1$
(21) $2$
(22) $2$
(23)(24) $01$
(25)(26) $-1$
(27) $0$
(28) $2$
(29) $2$
(30) $2$
(31) $2$
(32)(33) $02$

解説

(1)
$a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10}\Leftrightarrow a_{n+1}-\frac{10}{99}=\frac{1}{100}\left(a_n-\frac{10}{99}\right)$
と変形できる．
$\therefore a_n-\frac{10}{99}=\left(a_1-\frac{10}{99}\right)\cdot\left(\frac{1}{100}\right)^{n-1}=-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^n\Leftrightarrow a_n=-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^n+\frac{10}{99}$
よって，階差数列 $\left\{b_n\right\}$ は，
$b_n=a_{n+1}-a_n=-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^{n+1}+\frac{10}{99}-\left\{-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^n+\frac{10}{99}\right\}=\frac{1}{{10}^3}\left(\frac{1}{{10}^2}\right)^{n-1}=\frac{1}{{10}^{2n+1}}$
となる．よって， $p=3,q=2,r=2,s=1$ ……(答)
更に，
$a_n=a_1+\left(a_2-a_1\right)+\left(a_3-a_2\right)+\cdots\cdots+\left(a_n-a_{n-1}\right)=a_1+\left(b_1+b_2+\cdots\cdots+b_{n-1}\right)=a_1+\sum_{k=1}^{n+\left(-1\right)}b_k$ ……(答)
また，
$a_1+\sum_{k=1}^{n+\left(-1\right)}b_k=\frac{1}{10}+\frac{\frac{1}{{10}^3}\left\{1-\left(\frac{1}{{10}^2}\right)^{n-1}\right\}}{1-\frac{1}{{10}^2}}=\frac{\frac{1}{10}\left(1-\frac{1}{{10}^{2n}}\right)}{1-\frac{1}{{10}^2}}$
であるから， $t=1,u=2,v=2$ ……(答)

(2)
$b_n=a_{n+1}-a_n$ より，
$\frac{b_k}{a_ka_{k+1}}=\frac{a_{k+1}-a_k}{a_ka_{k+1}}=\frac{1}{a_k}+\frac{-1}{a_{k+1}}$ ……(答)
これに， $b_k=\frac{1}{{10}^{2k+1}}$ を代入すれば，
$\frac{\frac{1}{{10}^{2k+1}}}{a_ka_{k+1}}=\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\Leftrightarrow\frac{1}{a_ka_{k+1}}={10}^{2k+1}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)$
これを利用すれば，
$S_n=\sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{1}{{10}^{2k}}\cdot{10}^{2k+1}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)\right\}=10\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=10\left\{\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}\right)+\left(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_2}\right)+\cdots\cdots+\left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\right\}=10\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)=10\left[10-\frac{1-\frac{1}{{10}^2}}{\frac{1}{10}\left\{1-\frac{1}{{10}^{2\left(n+1\right)}}\right\}}\right]=\frac{1-\frac{1}{{10}^{2n}}}{1-\frac{1}{{10}^{2n+2}}}$
となるから， $w=0,x=2,y=2,z=2$ ……(答)

(3)
$\left({100}^{n+1}-1\right)S_n={10}^{2n+2}\left(1-\frac{1}{{10}^{2n+2}}\right)\cdot\frac{1-\frac{1}{{10}^{2n}}}{1-\frac{1}{{10}^{2n+2}}}={10}^{2n+2}-{10}^2$
よって， $2n+2$ 桁……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問3

2019.10.09

方針の立て方 (1)(3)(4)は基本問題であり，特筆事項なし．(4)は本解ではと丁寧に記述したが，であることと，解答形式は穴埋め形式である(途中の計算を記述しない)ため，本番では直ちに11と答えても良いだろう． (2)は少々考えにくい問題であるが，相関係数とは，1つのデータで決まるものではなく，他

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方針の立て方

(1)(3)(4)は基本問題であり，特筆事項なし．(4)は本解では $\sqrt{120.8}=10.9\cdots\cdots\fallingdotseq11$ と丁寧に記述したが， ${11}^2=121$ であることと，解答形式は穴埋め形式である(途中の計算を記述しない)ため，本番では直ちに11と答えても良いだろう．
(2)は少々考えにくい問題であるが，相関係数とは，1つのデータで決まるものではなく，他のデータとの関係で決まるものであるから，複数のデータを比較することが必要だと考える．
相関係数0.95以上というのは大変強い正の相関であり，殆ど比例の関係だと見做せる．

解答例

(34)(35)52
(36)(37)74
(38)0
(39)1
(40)3
(41)5
(42)6
(43)(44)(45)68.2
(46)(47)(48)68.4
(49)9
(50)(51)11

解説

(1)
表より，最小値は52，最大値は74……(答)

(2)
番号2の個体と比較して，「体長が大きく，体重も大きい」か「体長が小さく，体重も小さい」のどちらかに該当する番号の個体は種類Bに分類される可能性があり，該当する番号は(2を除いて)4,5,6,7,8,9である．
逆にこれに該当しない番号0,1,3の個体は種類Aに分類される．
番号0の個体と比較して，「体長が大きく，体重も大きい」か「体長が小さく，体重も小さい」のどちらかに該当する番号の個体は種類Aに分類される可能性があり，該当する番号は(0,1,3を除いて)5,6である．よって，種類Aの5匹の番号は小さい方から0,1,3,5,6……(答)
また，種類Aの5匹の体長の平均値は， $\frac{60+66+69+72+74}{5}=68.2$ ……(答)

(3)
10匹のうち体長の大きい方から5匹の個体の番号は1,3,5,6,9であり，この5匹の体長の平均値は， $\frac{66+69+72+74+61}{5}=68.4$ ……(答)
種類Bの5匹の番号は2,4,7,8,9であるから，体長の大きい5匹のうち種類Bの個体の番号は9……(答)

(4)
$\sqrt{\left(60-68.2\right)^2+\left(66-68.2\right)^2+\left(69-68.2\right)^2+\left(72-68.2\right)^2+\left(74-68.2\right)^2}=\sqrt{120.8}=10.9\cdots\cdots\fallingdotseq11$ ……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問1

2019.10.09

方針の立て方 (1) の二変数を考えるのは困難であるため，三角関数を導入することで一変数化する． (2) 基本対称式の典型問題であるため特筆事項なし． (3) 前問と同様に基本対称式の問題．基本対称式の問題であるためとしないでとすると良い．解答例 (1)(2) (3)(4) (5) (6) (7)

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方針の立て方

(1)
$x,y$ の二変数を考えるのは困難であるため，三角関数を導入することで一変数化する．

(2)
基本対称式の典型問題であるため特筆事項なし．

(3)
前問と同様に基本対称式の問題．基本対称式の問題であるため $\left(x+y\right)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ としないで $\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)$ とすると良い．

解答例

(1)(2) $-2$
(3)(4) $06$
(5) $6$
(6) $1$
(7)(8)(9) $\frac{-7}{2}$
(10) $2$
(11)(12) $10$

解説

円 $C$ の式は $\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=8\Leftrightarrow x^2+y^2-2\left(x+y\right)=6$ である．
(1)
円 $C$ 上の点は $\begin{cases} x-1=2\sqrt2\cos{\theta} \\ y-1=2\sqrt2\sin{\theta} \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(2\sqrt2\cos{\theta}+1,2\sqrt2\sin{\theta}+1\right)$ とおくことができる( $\theta$ は任意の実数)．
$\therefore t=\left(2\sqrt2\cos{\theta}+1\right)+\left(2\sqrt2\sin{\theta}+1\right)=4\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}+2$
(※途中で三角関数の合成公式を用いた)
$\theta$ は任意の実数を取りうるため， $-1\leqq\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}\leqq1． \therefore-2\leqq t\leqq6$ ……(答)
また， $t=0$ のとき， $x+y=0$ が成り立つから，円 $C$ の式に代入すれば，
$x^2+y^2=6$ ……(答)

(2)
$t^2=\left(x+y\right)^2=x^2+y^2+2xy$
円 $C$ の式より， $x^2+y^2-2\left(x+y\right)=6\Leftrightarrow x^2+y^2=2t+6$ であるから，上式に代入すると，
$t^2=2t+6+2xy\Leftrightarrow xy=\frac{1}{2}t^2-t-3=\frac{1}{2}\left(t-1\right)^2-\frac{7}{2}$ となる． $-2\leqq t\leqq6$ のもとでの $\frac{1}{2}\left(t-1\right)^2-\frac{7}{2}$ の最小値は， $t=1$ のときの $-\frac{7}{2}$ ．
よって， $xy$ の値は $t=1$ のとき最小値 $-\frac{7}{2}$ をとる．……(答)

(3)
$t^3=\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=x^3+y^3+3\left(\frac{1}{2}t^2-t-3\right)t\Leftrightarrow x^3+y^3=-\frac{1}{2}t^3+3t^2+9t$
$f\left(t\right)=-\frac{1}{2}t^3+3t^2+9t$ とおくと， $f^\prime\left(t\right)=-\frac{3}{2}t^2+6t+9=-\frac{3}{2}\left\{t-\left(2-\sqrt{10}\right)\right\}\left\{t-\left(2+\sqrt{10}\right)\right\}$
$-2\leqq t\leqq6$ に注意して増減表を描くと，

$t$	$-2$	$\cdots$	$2-\sqrt{10}$	$\cdots$	$2+\sqrt{10}$	$\cdots$	$6$
$f^\prime\left(t\right)$	$-$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$-$
$f\left(t\right)$	$-2$	$\searrow$	$\qquad$	$\nearrow$	$26+10\sqrt{10}$	$\searrow$	$\searrow$

よって， $t=2+\sqrt{10}$ のとき $\left(f\left(t\right)=\right)x^3+y^3$ は最大となる．……(答)

2017年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問1

2019.10.07

方針の立て方 (1) 典型問題であるため特筆事項なし． (2) 前問と同様の解法を用いると考える．前問では，中心座標が与えられていたためここから考えられたが，本問では中心座標が与えられていない．そこで，まずは中心を文字で置くことから始める．すると前問の解法の流れが使える． (3) まずは，半径の情

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方針の立て方

(1)
典型問題であるため特筆事項なし．

(2)
前問と同様の解法を用いると考える．
前問では，中心座標が与えられていたためここから考えられたが，本問では中心座標が与えられていない．そこで，まずは中心を文字で置くことから始める．すると前問の解法の流れが使える．

(3)
まずは，半径の情報が与えられている円 $C_1$ の議論をする．(1)や(2)と同様に中心座標を文字で置いて議論すれば良い．
解答に至るには円 $C_2$ の中心に関する議論が必要になるから，円 $C_1$ と円 $C_2$ の情報をつなげる(というより円 $C_1$ の情報を円 $C_2$ の情報に変換する)ことを考える．本問では線分 $\mathrm{P}_\mathrm{1}\mathrm{P}_\mathrm{2}$ の長さの情報が与えられているため，これを使ってやれば良い．直線 $l_a$ の傾きが三角比でよく見る $\sqrt3$ という値であることから，図形的に考えれば良いと直観する．

解答例

(1) $1$
(2) $3$
(3)(4) $16$
(5) $5$
(6) $9$
(7)(8) $-4$
(9) $3$

解説

(1)
中心が $\left(1,3+\sqrt{10}\right)$ であり， $y$ 軸と接することから，円 $C$ の半径は1である．……(答)
また，円 $C$ は直線 $l_a$ と接することから，中心 $\left(1,3+\sqrt{10}\right)$ と直線 $l_a$ との距離は半径の長さ1と等しくなる．
$\therefore\frac{\left|a\cdot1-\left(3+\sqrt{10}\right)\right|}{\sqrt{a^2+\left(-1\right)^2}}=1\Leftrightarrow\left(a-3-\sqrt{10}\right)^2=a^2+1\Leftrightarrow a=3$ ……(答)

(2)
円の中心の座標を $\left(\alpha,\beta\right)$ ( $\alpha,\beta$ は実数)とおく．すると，円 $C$ の方程式は，
$\left(x-\alpha\right)^2+\left(y-\beta\right)^2=4$
まず， $y$ 軸と接することから， $\alpha=\pm2$ ．
また，円 $C$ は直線 $l_a\colon y=2x$ と接することから，中心 $\left(\alpha,\beta\right)$ と直線 $l_a$ との距離は半径の長さ2と等しくなる．
$\therefore\frac{\left|2\cdot\alpha-\beta\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=2\Leftrightarrow\left|2\alpha-\beta\right|=2\sqrt5\Leftrightarrow2\alpha-\beta=\pm2\sqrt5\Leftrightarrow\beta=2\alpha\pm2\sqrt5$
よって，円の中心は $\left(-2,-4-2\sqrt5\right),\left(-2,-4+2\sqrt5\right),\left(2,4-2\sqrt5\right),\left(2,4+2\sqrt5\right)$ の4点．この4点からなる平行四辺形の面積が求める面積であり，
$4\cdot4\sqrt5=16\sqrt5$ ……(答)

(3)
円 $C_1$ の中心座標を $\left(1,\alpha\right)$ ( $\alpha$ は正の実数．また， $x$ 座標が1となることは，半径が1であることと $y$ 軸に接することから明らか)とおく．
すると，円 $C_1$ の方程式は，
$\left(x-1\right)^2+\left(y-\alpha\right)^2=1$
と書ける．これが直線 $l_a\colon y=\sqrt3x$ と接することから，中心 $\left(1,\alpha\right)$ と直線 $l_a$ との距離は半径の長さ1と等しくなる．
$\therefore\frac{\left|\sqrt3\cdot1-\alpha\right|}{\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=1\Leftrightarrow\left|\sqrt3-\alpha\right|=2\Leftrightarrow\sqrt3-\alpha=\pm2\Leftrightarrow\alpha=\sqrt3\pm2$
$\alpha$ は正の実数であることより， $\alpha=\sqrt3+2$ が適当．
よって，円 $C_1$ の方程式は $\left(x-1\right)^2+\left(y-\sqrt3-2\right)^2=1$ であり，直線 $l_a\colon y=\sqrt3x$ との接点 $\mathrm{P}_1$ の座標を求めると $\left(\frac{2+\sqrt3}{2},\frac{3+2\sqrt3}{2}\right)$ と分かる．
下図のように考えると， $\mathrm{P}_2$ の座標は $\left(\frac{2+\sqrt3}{2}+2,\frac{3+2\sqrt3}{2}+2\sqrt3\right)=\left(\frac{6+\sqrt3}{2},\frac{3+6\sqrt3}{2}\right)$ と分かる．

円 $C_2$ の中心の座標を $\left(\beta,\gamma\right)$ ( $\beta,\gamma$ はともに正の実数)とすると， $y$ 軸と接することから円 $C_2$ の半径は $\beta$ となる．
また，中心 $\left(\beta,\gamma\right)$ は，点 $\mathrm{P}_2\left(\frac{6+\sqrt3}{2},\frac{3+6\sqrt3}{2}\right)$ を通る直線 $l_a\colon y=\sqrt3x$ の法線上にある．その法線の方程式は， $y=-\frac{1}{\sqrt3}x+2+4\sqrt3$ であるから， $\gamma=-\frac{1}{\sqrt3}\beta+2+4\sqrt3$ となる．
更に，中心 $\left(\beta,\gamma\right)$ と直線 $l_a\colon y=\sqrt3x$ との距離は半径 $\beta$ と等しくなるから，
$\frac{\left|\sqrt3\beta-\gamma\right|}{\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\beta\Leftrightarrow\sqrt3\beta-\gamma=\pm2\beta$
$\gamma=-\frac{1}{\sqrt3}\beta+2+4\sqrt3$ と連立し，更に $\beta$ が正の実数であることを用いれば，
$\beta=9-4\sqrt3$ ……(答)

2018年慶応大学経済学部|過去問徹底研究大問6

2019.10.07

方針の立て方 (1) およびで割り切れるということはで割り切れるということである．これに気付けなくとも，と表せることから，はを因数に持ち，はを因数に持つということが分かれば，結局同じ議論ができる．後は，本解答のようにを導入し解析していく．の導入は「がで割り切れる」という情報と「がで割り切れる」という

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方針の立て方

(1)
$x$ および $x-1$ で割り切れるということは $x\left(x-1\right)$ で割り切れるということである．これに気付けなくとも， $F\left(x\right)=xP\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)$ と表せることから， $P\left(x\right)$ は $x-1$ を因数に持ち， $Q\left(x\right)$ は $x$ を因数に持つということが分かれば，結局同じ議論ができる．後は，本解答のように $R\left(x\right)$ を導入し解析していく． $R\left(x\right)$ の導入は「 $F\left(x\right)$ が $x$ で割り切れる」という情報と「 $F\left(x\right)$ が $x-1$ で割り切れる」という情報の両方ともを加味しているため， $F\left(x\right)=xP\left(x\right)$ と $F\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)$ で考えるよりも都合が良い．
求めるのは最小の次数のものであるため， $R\left(x\right)$ を0次，1次，2次，……と考えていけば良い．

(2)(3)は，(1)で $f\left(x\right)$ が特定できてしまえば，典型問題の三次関数の接線の問題となる．特に捻りもなく，典型的な解法を取れば良い．

解答例

$F\left(x\right)=xP\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)$ と表せる．
(1)
$F\left(x\right)はx\left(x-1\right)$ で割り切ることができる．その商を $R\left(x\right)$ とおく．
すると，
$F\left(x\right)=xP\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)=x\left(x-1\right)R\left(x\right)$
と表せる．
これより，
$\begin{cases} P\left(x\right)=\left(x-1\right)R\left(x\right) \\ Q\left(x\right)=xR\left(x\right) \end{cases}$ ……(＊)
となる．
$P\left(0\right)=-4$ より，(＊)の上式に $x=0$ を代入すると，
$-4=-R\left(0\right)\Leftrightarrow R\left(0\right)=4$
$Q\left(1\right)=2$ より，(＊)の下式に $x=1$ を代入すると，
$2=1\cdot R\left(1\right)\Leftrightarrow R\left(1\right)=2$
よって，
$\begin{cases} R\left(0\right)=4 \\ R\left(1\right)=2 \end{cases}$
これを満たす $R\left(x\right)$ で次数が最小のものは， $R\left(x\right)=-2x+4$ である．
$\therefore f\left(x\right)=x\left(x-1\right)\left(-2x+4\right)=-2x\left(x-1\right)\left(x-2\right)$ ……(答)

(2)
$f\left(x\right)=-2x^3+6x^2-4x$ であるから， $f^\prime\left(x\right)=-6x^2+12x-4$ である．
よって，点 $\left(r,f\left(r\right)\right)=\left(r,-2r^3+6r^2-4r\right)$ における接線は，
$y=\left(-6r^2+12r-4\right)x+4r^3-6r^2$
よって，求める傾きは $-6r^2+12r-4$ , $y$ 切片は $4r^3-6r^2$ ……(答)

(3)
接線 $y=\left(-6r^2+12r-4\right)x+4r^3-6r^2$ が点 $\left(s,t\right)$ を通るので，
$t=\left(-6r^2+12r-4\right)s+4r^3-6r^2$ ……(※)
が成り立つ．
$y=f\left(x\right)=-2x^3+6x^2-4x$ は三次関数であり，複接線は引けないから，接線の本数と接点の個数は等しくなる．よって，(※)を $r$ の三次方程式
$4r^3+\left(-6s-6\right)r^2+12sr-4s-t=0$
の解がちょうど2個存在すれば必要十分である．
$g\left(r\right)=4r^3+\left(-6s-6\right)r^2+12sr-4s-t$
とおくと，
$g^\prime\left(r\right)=12r^2+\left(-12s-12\right)r+12s=12\left(r-s\right)\left(r-1\right)$
である．
(ⅰ) $s=1$ のとき
$g^\prime\left(r\right)=12\left(r-1\right)^2$ となり， $g^\prime\left(r\right)\geqq0$ (等号成立は $r=1$ のときのみ)であるから $g\left(r\right)$ は単調増加となる．このとき， $g\left(r\right)=0$ となる $r$ はただ1つしか存在しないため不適．
(ⅱ) $s\neq1$ のとき
$g^\prime\left(r\right)=0$ となる $r$ は2つ( $r=s,1$ )あり，かつ $r=s,1$ それぞれの前後で $g^\prime\left(r\right)$ の符号が変化するから， $g\left(r\right)$ は極大値を極小値を1つずつ持つ( $r=s,1$ のどちらが極大値，極小値になるかは $s$ と1の大小関係に依存する)．この極大値もしくは極小値が0となるとき， $g\left(r\right)=0$ となる解はちょうど2つ存在し，題意を満たす．
$g\left(s\right)=4s^3+\left(-6s-6\right)s^2+12s\cdot s-4s-t=-2s^3+6s^2-4s-t$
$g\left(1\right)=4\cdot1^3+\left(-6s-6\right)\cdot1^2+12s\cdot1-4s-t=2s-t-2$
より，極大値もしくは極小値が0となるのは，
$-2s^3+6s^2-4s-t=0$ または， $2s-t-2=0$
のとき．
以上，(ⅰ)と(ⅱ)より，求める条件は，
$-2s^3+6s^2-4s-t=0$ または， $2s-t-2=0$ (ただし， $s\neq1$ )……(答)