物理 | 【早慶専門対策】個別指導塾ヒロアカ

【物理】力のモーメントとは？（力のモーメントその１）

2016.12.14

苦手とする人が多い分野です。しっかり理解して他との差をつけましょう。力のモーメントとは？力のモーメントは物を回転させる力のことをさします。物体を回転させるといってもイメージがなかなかつきづらいかもしれません。そういったときはまずは実際に自分で動作を行ってみましょう。鉛筆または、シャープペン

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[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]次は物体の回転まで考えないといけないの？[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]それが力のモーメントか！[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]考えないと行けない力が多くなってわからなくなりそうだ…。[/speech_bubble]
苦手とする人が多い分野です。しっかり理解して他との差をつけましょう。

力のモーメントとは？

力のモーメントは物を回転させる力のことをさします。
物体を回転させるといってもイメージがなかなかつきづらいかもしれません。
そういったときはまずは実際に自分で動作を行ってみましょう。

鉛筆または、シャープペンをもっていますか？真中部分をもって回してみましょう。

　それでもイメージがつきづらい場合は自転車の車輪が軸を中心として回転していくのをイメージしてみると良いでしょう。

物理ができなくなる時には現象のイメージができてないのに、ムリに公式を覚えているからです。

公式の意味とイメージが一致するまで何度も考えてみて下さい。
また、このモーメントを考えるときの物体は大きさがあります。このような物体を剛体といいます。（逆に大きさを考えないときは質点といいます。）

この力のモーメントは、

（力の大きさ）×（力に垂直なうでの長さ）

＝（うでに垂直な力の大きさ）×（うでの長さ）で表されます。

そのため、成分でわけて考える必要があります。

【物理】垂直抗力、摩擦力（力の種類その３）

2016.12.14

垂直抗力は床と接している場合、必ず働く力です。摩擦力も、現実世界ではすべての物体に働くので、考慮しなければならない力です。垂直抗力垂直抗力は物体が置かれている面から受ける力のことで、向きは床に対して垂直に働きます。例えば、重さｍの物体を置いて、上からFのちからで押すと、力のつりあい

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[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]まだまだ力の種類はあるのか…。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]垂直抗力とか、摩擦力とかね。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]覚えきれる気がしないよー。[/speech_bubble]
垂直抗力は床と接している場合、必ず働く力です。摩擦力も、現実世界ではすべての物体に働くので、考慮しなければならない力です。

垂直抗力

垂直抗力は物体が置かれている面から受ける力のことで、向きは床に対して垂直に働きます。例えば、重さｍの物体を置いて、上からFのちからで押すと、力のつりあいを考えて垂直抗力N＝F＋mgとなります。

もし、地面が斜めの場合でも垂直抗力は地面に垂直に働くので力の分解を水平方向、鉛直方向などで考える必要がでてくるので注意しましょう。

摩擦力

摩擦力とは、物体の動きを妨げようとする力です。また、物体が静止しているときに働く摩擦力（静止摩擦力）、と運動している物体に働く摩擦力（動摩擦力）には違いがあるので注意しましょう。しかし、どちらも力の大きさは垂直抗力に比例します。これは、身のまわりのもので考えるとわかりやすいです。重い物を押したときはなかなか物体は動かないですが、軽いものであればより簡単に動かすことができます。

まず、静止している物体にも摩擦力は働きます。そのとき、物体が動きだすまでどんどん加える力を大きくしていくとします。このとき摩擦力は少しずつ大きくなっていきます。そして、これ以上の力を加えたら、動き出す境界の力の大きさをμNと表します。このときのμは静止摩擦係数と呼ばれます。

運動している物体には常に同じ大きさの摩擦力がかかります。この時の力の大きさはμ’Nと表され、μ’のことを動摩擦係数といいます。一般にはこの動摩擦力は静止摩擦力より小さくなります。

ここで物理特有の言い回しなのですが、問題文中に”なめらかな面”という単語が出てきたら摩擦力は考慮しなくて良いという意味です。また”粗い面”という単語がでたら摩擦力を考慮しなければなりません。これらの言い回しは覚えておきましょう。（他にも静かに放す→初速度が０などがあります。）

【物理】弾性力（力の種類その1）

2016.12.14

弾性力弾性力とはバネが元の長さに戻ろうとすることによって物体に生じる力です。この元のバネの長さを自然長といいます。力の大きさを式で表すと、F ＝ kxで表されます。このことをフックの法則といい、kはバネ定数、xはバネが自然長からどれだけ伸びた、もしくは縮んだかを表しま

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[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]力にはいろんな種類があるんだね。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]とくに弾性力は覚えておかないとね。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]少し独特だからね。[/speech_bubble]

弾性力

弾性力とはバネが元の長さに戻ろうとすることによって物体に生じる力です。この元のバネの長さを自然長といいます。

力の大きさを式で表すと、F ＝ kxで表されます。このことをフックの法則といい、kはバネ定数、xはバネが自然長からどれだけ伸びた、もしくは縮んだかを表します。

つまり、力の大きさはバネがどれだけ自然長から変化したかに比例します。伸びれば伸びるほど、元に戻ろうとする力は大きくなります。

ここで注意しておきたいのはバネが縮んだか、もしくは伸びたかによって力の向きは変わります。

運動方程式は

$ma=-kx \Longrightarrow a=-\frac{k}{m}x$

となります。バネの力をFとしての方向は自然長を基準に伸びを正、縮みを負として復元力になっているかをちゃんと確認しましょう

x > 0(伸びる) x < 0（縮む）

力 F < 0（戻ろうとする） F > 0（押し戻す）

【物理】浮力、圧力（力の種類その2）

2016.12.14

圧力圧力とは１㎡あたりの面（これを単位面積と言います）を垂直に押す力のことをいいます。圧力をPとすると、P＝F/Sであらわされます。身近な例では、空気による圧力のことを大気圧、水による圧力のことを水圧といいます。例）深さhにおける水圧を考えます。その上にある水の重さをm、密度をρ、底面積をS

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[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]浮力とか圧力って式も難しいし、全然わからない。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]力についてわかってきたはずだったのにな…。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]なんで面積で割ったり、体積をかけたりしないといけないの？[/speech_bubble]
圧力

圧力とは１㎡あたりの面（これを単位面積と言います）を垂直に押す力のことをいいます。

圧力をPとすると、P＝F/Sであらわされます。身近な例では、空気による圧力のことを大気圧、水による圧力のことを水圧といいます。

例）深さhにおける水圧を考えます。

その上にある水の重さをm、密度をρ、底面積をSとすると、(質量)＝(密度)×(体積)より

m=ρShで表されます。

また、（重力の大きさ）＝mg＝ρShgとなり、

圧力は、力を面積Sでわるので、P＝ρVgとなります。

これに大気圧もかかっているので大きさをP_oとすると、

水圧はP＝P_o＋ρVgとなります。

浮力

浮力とは、重力とは逆向きに働く力で、物体が中にいる液体（気体）からうける力のことです。

液体（気体）の中にある物体が受ける浮力の大きさは物体が押しのけている液体（気体）の重さに等しくなります。このことをアルキメデスの原理といいます。

これを式で表すと、F=ρVgで表されます（ρ：液体の密度、V：体積）

ρVはその物体が液体の中で占領している体積に液体の密度をかけ、おしのけた液体の質量を表し、ρVgは重さを表していることがわかります。

２つの違いに注意し、きちんと理解していきましょう。

【物理】力の分解とは？どの方向に分解するの？(力のつり合いその4)

2016.12.09

着目する物体にいろいろな方向から力がはたらいている場合、直接つり合いの式を立てるのは難しくなります。そんな時は、物体にはたらく力を2方向に分けて考えましょう。これが力の分解です。分解した2つの方向について、それぞれ別々につり合いの式を立てれば、どんな方向に対しても力のつり合いを考えることができます

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[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]力の方向が斜めだったら、どうやって力のつり合いを考えたらいいんだろう。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]力の向きを2つに分けると、考えやすくなるよ。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]なるほど、力の分解ってそういうことか。でも、どの方向に分ければいいんだろう。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]水平・鉛直に分けることが多いけど、いろんな場合があるよ。[/speech_bubble]
着目する物体にいろいろな方向から力がはたらいている場合、直接つり合いの式を立てるのは難しくなります。そんな時は、物体にはたらく力を2方向に分けて考えましょう。これが力の分解です。

分解した2つの方向について、それぞれ別々につり合いの式を立てれば、どんな方向に対しても力のつり合いを考えることができます。

2本のひもで引っ張る場合

2本のひもで物を引っ張る(2方向に力を加える)ことを考える問題が存在します。
例として、おもりが天井から2本の糸で吊るされている場合を考えてみましょう。

おもりが2本の糸で吊るされて止まっている場合、ひもで引っ張る力は重力と平行ではありません。
ですが、おもりが止まっているので、2本のひもで引っ張る力の合力は重力とつり合うはずです。
この力を2本それぞれのひもで引っ張る力に分解することで、それぞれのひもによる張力を求めることができます。

簡単に考えるため、図の上で矢印の大きさにより力の分解を考えてみましょう。
まず、2本のひもにより引っ張る力の合力を考えます。重力とつり合っているので、重力と逆方向で同じ大きさの矢印を引きます。

次に、その合力が平行四辺形の対角線になるように、矢印の先からそれぞれのひもと平行な線を引きます。
この平行四辺形の上で、ひも上の2辺と同じ大きさの矢印がそれぞれのひもによりおもりを引っ張る力になります。

基本的に、水平な2方向でなければどんな方向にも力を分解することはできます。
ですが、問題を考える上では、力を垂直な2方向に分解する方が考えやすくなります。

力の分解を使ってつり合いを考える

ざらざらとした地面に置いた物体を、ひもで斜め上に引っ張ることを考えます。
ざらざらとした地面では、物体を地面に対して水平な方向に引っ張ると、「摩擦力」という力が働きます。（下図の黄緑）
摩擦力は地面に対して水平な方向に働きます。

よって、この物体には地面に水平な方向、垂直な方向、斜め方向と、様々な方向に力が働いています。
弱い力で引っ張り、物体が動いていないとしたとき、どのような力がつり合っているかを考えます。
このとき、まず斜め方向にはたらいている、物体をひもで引っ張る力を分解しましょう。

他の力は地面に水平な方向、垂直な方向であるので、考えやすいように地面に水平な方向、垂直な方向の2つに分解します。地面に水平な方向をx方向、垂直な方向をy方向として、それぞれの方向について力のつり合いを考えます。

まず、どのようにして力を分解したらいいかを考えます。ひもで引っ張る力の大きさをT、引っ張る方向の地面からの角度をθとします。
このとき、分解した後の力は水平方向にはTcosθ、垂直方向にはTsinθとなります。

次に、それぞれの方向について力のつり合いを考えましょう。
x方向に働く力は、摩擦力と、ひもで水平方向に引っ張る力Tcosθです。よって、(摩擦力)=Tcosθとなります。

y方向に働く力は、重力、垂直抗力と、ひもで垂直方向に引っ張る力Tsinθです。
上向きに働く力と下向きに働く力を考えると、(垂直抗力)+Tsinθ=(重力)となります。

このように、力と分解する方向の角度に注意して、三角関数を用いて表すことで、力を分解することができます。
鉛直と水平に分解するのが一番オーソドックスですが、他の力が働いている方向によっては別の方向に分解した方がいい場合もあります。
具体的には、分解するべき力の数がなるべく少なくなるようにした方がいいです。
例えば、上記のような問題で斜面に対する物体について考えるときは、その斜面に水平な方向、鉛直な方向に分解した方がいいです。
他の方向に分解してしまうと、摩擦力や垂直抗力も分解しなければいけなくなり、計算が複雑になってしまいます。
どのように分解すれば、一番きれいに解けるかを意識して考えましょう。

ところでなぜ力は分解できるのでしょうか。
これは実は力は数学Bで学ぶベクトルで考えるとわかります。数学的にはベクトルの合成、分解をやっていることと同じです。

【物理】作用反作用の法則とは？(力のつり合いその3)

2016.12.09

作用・反作用の法則とは、物体Aが物体Bに力を加えるとき、物体Aはその力と同じ大きさで逆向きの力を受けるという法則です。分かりにくい部分のため、ここでつまづいてしまう人も多い部分です。しかし、「力のつりあい」を考える上では、この作用・反作用を用いて考えることが多くなるため、しっかり身につけておく必

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[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]作用と反作用ってよく分からないなー。「2つのものが力を及ぼしあう」って聞いたけど。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]自分が壁を押すと、自分も壁から押されるでしょ？そういうことよ。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]どんなものでも成り立つの？イメージしにくいなぁ。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]人じゃなくて、ものが何かを押すことが多いから、分かりにくいよね。[/speech_bubble]
作用・反作用の法則とは、物体Aが物体Bに力を加えるとき、物体Aはその力と同じ大きさで逆向きの力を受けるという法則です。

分かりにくい部分のため、ここでつまづいてしまう人も多い部分です。

しかし、「力のつりあい」を考える上では、この作用・反作用を用いて考えることが多くなるため、しっかり身につけておく必要があります。

日常生活で起こる現象でイメージする

まず、日常生活で起こる現象で作用・反作用をイメージしてみましょう。

例えば、ローラースケートを履いて壁を押すと、自分も壁に押し返され、後ろに進むと思います。この場合、「自分が壁を押す力」が作用で、「壁が自分を押す力」が反作用です。

また、シャープペンシルの頭を押す時、間違えて逆に持ってしまい芯の方を押してしまった場合を考えてみます。この場合、「指が芯を押す力」が作用で、「芯が指を押す力」が反作用です。経験がある人もいるかと思いますが、とても痛いですね。これは、反作用として芯が指を押すからこそ痛いのです。

このように、「何かに力を加えると、逆方向に力を受ける」という現象を説明するのが作用・反作用の法則です。

この法則はあらゆる物に対して成り立ちます。例えば、地球上のあらゆるものは地球の中心に向かって重力を受けますが、これにも反作用はあります。地球が重力により自分を引っ張るとき、自分もまた地球を引っ張るのです。もちろん自分よりも地球の方がはるかに質量が大きいため、地球はほとんど動きませんが、確かに重力にも反作用はあるのです。

「力のつり合い」との違い

「力のつり合い」も「作用･反作用」も、同じ大きさで逆方向の向きにはたらく力ですが、この二つは同じではありません。では、この2つの違いは一体どこにあるのでしょうか。

力のつり合いの式は、1つの物体に注目して立てる式です。これに対し、作用･反作用は2つの物体に注目したときに成り立つ法則です。

机の上にあるボールを考えます。ボールには重力がかかっていますが、動いていません。このとき、

1.ボールに対する重力とつり合う力

2.ボールに対する重力の反作用

はどのような力でしょうか。

まず、ボールに対する重力とつり合う力ですが、力のつり合いは1つの物体に対して考えるので、つり合う力はボールに対してはたらく力です。よって、この力は机がボールを押す力です。少し先で出てくる話ですが、この力は垂直抗力とよび、物体が面に接しているとき、面に垂直な方向に働く力です。

次に、ボールに対する重力の反作用ですが、ボールに対する重力は「地球がボールを引っ張る力」です。作用・反作用は2つの物体に対して考えるので、この場合反作用はボールが地球を引っ張る力です。

よく、「重力の反作用は垂直抗力だ！」と勘違いする人もいますが、ここから分かる通り重力の反作用は垂直抗力ではありません。同じ大きさの力で、向きが反対なので勘違いしやすい点です。作用･反作用を考えるときは、まず「何が何に対して及ぼす力なのか」を考えることが重要です。

作用・反作用を使った問題例

Q：天井から糸で吊るされた質量1kgのおもりがある。このとき、天井が糸を引く力は何N？ただし、重力加速度gを9.8(N/kg)とする。また、糸の質量は考えない。

Ans:まず、おもりについて力のつり合いを考えてみましょう。おもりには下向きに重力mg=1×9.8=9.8 Nがかかっています。このままだとおもりが落ちてしまうので、つり合っている力があるはずです。重力とつり合う力は、糸がおもりを引っ張る力です。この力をTとすると、T=mg=9.8Nとなります。

次に、糸について力のつり合いを考えます。おもりについて考えたとき、糸がおもりを引っ張る力について考えましたね。この力の反作用として、おもりが糸を引っ張る力というものも存在します。おもりが糸を引っ張る力の大きさは、作用･反作用の法則により糸がおもりを引っ張る力の大きさと同じなので、9.8Nです。これとつり合う力は、天井が糸を引く力Fです。よって、F=9.8Nとなります。

以上より、天井が糸を引く力は9.8Nとなります。

【物理】力のつりあい（力のつりあいその2）

2016.12.07

力のつりあい力がつりあっているとき、物体は静止、もしくは等速度直線運動をします。このときは、すべての力を足した時にゼロになるということです。力はベクトルなので、鉛直方向、水平方向など分けて考える事もできます。力を図示したら、ある一方向に対してその合力＝０なったとき物

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[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]ふと疑問に思ったんだけど、物が止まってるときも重力とかの力ってはたらいてるよね？[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]なのに動かないって不思議な感じだね。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]あ、でも同じ大きさの力が逆に働いてれば動かないか！[/speech_bubble]

力のつりあい

力がつりあっているとき、物体は静止、もしくは等速度直線運動をします。

このときは、すべての力を足した時にゼロになるということです。力はベクトルなので、鉛直方向、水平方向など分けて考える事もできます。

力を図示したら、ある一方向に対してその合力＝０なったとき物体はつりあいます。

例題）あるおもり（質量ｍ）が天井から糸で吊るされ、停止している。そのときの張力の大きさは？

物体に働く全ての力を考えます。

重力によって鉛直下向きに大きさｍｇの力が働く。また、ひもによる張力をTと置くと、その向きは鉛直上向きです。

上向きを正にすると、T−ｍｇ＝０となり、T=mgが張力の大きさになります。

【物理】力の種類（力のつりあいその1）

2016.12.07

力は重力、摩擦力、バネによる力、張力などと様々な種類があるように思えますが、図示するときには忘れずにすべての力を書き込むのはそう難しくありません。力そもそも力とは、物体を変形させたり、運動させたり、回転させる原因となるものです。その単位なニュートン（N）で表され、ベクトルなので向きを持ちます。

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[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]問題でいつも力を図示せよ、っていう問題で１つくらい忘れちゃんだよな…。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]わかる！力って物体に触れてなくても働いてたりするしね。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]一体力ってどれくらいの種類あるんだ？[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]すごい数ありそう…。[/speech_bubble]
力は重力、摩擦力、バネによる力、張力などと様々な種類があるように思えますが、図示するときには忘れずにすべての力を書き込むのはそう難しくありません。

力

そもそも力とは、物体を変形させたり、運動させたり、回転させる原因となるものです。

その単位なニュートン（N）で表され、ベクトルなので向きを持ちます。

力の種類

力は大きく分けると非接触力、接触力にわけられます。そして非接触力は重力、クーロン力、磁場から受ける力の主に３つととても限られています。

物体に働く力を図示するときは、まず非接触力が働いていないかをみつけ、その力の大きさと向きを矢印で書き込みます。次に、物体と接触している場所はすべて物体に力を及ぼします。それらの力を矢印で表せばいいのです。

よくでてくる力は、

・重力→地球上の物体すべてに働き、向きは地球の中心に向かっています。

・弾性力→バネによる力でバネが伸びたり、縮んだりすると元の状態に戻ろうとするので、その方向に力が物体に働きます。

・抗力→ある物体Aが地面など他の物体に対して力が働くと、同じ大きさの力が反対向きに物体Aに対しても働きます。この力のことを指します。

・摩擦力→物体が摩擦のある面を移動するときに、摩擦力が生じます。摩擦力は垂直抗力に比例します。

・張力→例えば糸におもりをつけると糸がピーンと張ります。これが張力です。

などがあります。特徴をつかんでおくといいでしょう。

【物理】相対運動

2016.12.07

相対速度相対速度とはAからみたBの速度です。つまり、Aに自分を置いてみて、Bがどのような速度で運動しているかという値です。つまり、（Bの速度）ー（Aの速度）＝（相手の速度）ー（自分の速度）　で表されます。ここで２つの物体が一直線上にある場合は単純な引き算ですが、速

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[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]車にのりながら電車を見るといつもよりゆっくりに見えるよね。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]そうね。そうやって見える速さのことを相対速度っていうらしいよ。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]そうなんだ！[/speech_bubble]

相対速度

相対速度とはAからみたBの速度です。つまり、Aに自分を置いてみて、Bがどのような速度で運動しているかという値です。

つまり、（Bの速度）ー（Aの速度）

＝（相手の速度）ー（自分の速度）　で表されます。

ここで２つの物体が一直線上にある場合は単純な引き算ですが、速度は向きを含むベクトルなので一直線上にないときは注意しないといけません。

例えば、２つの物体が互いに垂直な向きに離れていく運動をしているとします。このときは相対速度の大きさは三平方の定理によってもとめ、向きはAの終点を始点、Bの終点を終点とするような矢印で表されます。

同様にして相対加速度も（相手の加速度）ー（自分の加速度）でもとめることができます。

相対運動の身近な例としては、電車に乗っているときに自分が乗っている電車と同じ方向に進んでいる電車を窓から見るとゆっくり見えたり止まっているように見える時があります。一方自分と逆向きに動いている電車を見るとものすごく速く見えます。またサッカーや野球の場合ボールと選手の動きが相対運動になるため、競技に慣れるまでなかなかボールが取れないのはこのためです。

例題）20m/sで運動している電車から、同じ方向に50m/sで運動している電車の相対速度vと逆向きに運動している電車の相対速度Vは？

v =（相手の速度）ー（自分の速度）＝５０ー２０＝３０m/s

V =（相手の速度）ー（自分の速度）＝５０ー（ー２０）＝７０m/s

【物理】放物運動(落体運動その2)

2016.12.07

放物運動とは、斜め方向に初速度を与えた運動です。この運動ではx方向、y方向について分けて考えるので、複雑のように感じますが、実際２つの運動は等加速度運動、等速度運動と意外と単純です。放物運動放物運動（斜方投射）は、いわゆる物を投げたときの運動を表します。ここでのポイントは運動をx

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[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]次は放物運動で式にcosθとかでてきちゃったよー！[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]しかも１つの運動なのにx方向とy方向に分けて考えるとかもう分からない…。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]なんでこうやって考えるんだろう。[/speech_bubble]

放物運動とは、斜め方向に初速度を与えた運動です。この運動ではx方向、y方向について分けて考えるので、複雑のように感じますが、実際２つの運動は等加速度運動、等速度運動と意外と単純です。

放物運動

放物運動（斜方投射）は、いわゆる物を投げたときの運動を表します。

ここでのポイントは運動をx方向は等速度運動、ｙ方向は等加速度運動と分けて考えることです。

今回地面からθの角度で、大きさ $v_{0}$ の初速度を与えたとします。（空気抵抗は無視します）

そのとき、x方向は進行方向を正とし、初速度は $v_{0}\cos \theta$ で表されます。また、力ははたらいていないので加速度a=０となります。

y方向では上向きを正とすると初速度は $v_{0}\sin \theta$ で表され、加速度ａ=-gとなります。

これらを等加速度運動の公式に代入することで、最高点や、落下までの時間、位置などを求める事ができます。今回の場合は各方向について以下のことがわかります。

・水平方向（x軸方向）： $v_{x}=v_{0} \cos \theta$ ・・・①、 $x=(v_{0}\cos \theta )t$ ・・・②

・鉛直方向（y軸方向）： $v_{y}=v_{0} \sin \theta -gt$ ・・・③、 $y=(v_{0} \sin \theta )t-\frac {1}{2}gt^{2}$ ・・・④

②、④を使って時間ｔを消去すると

$y=-\frac{g}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \theta}x^{2}+(\tan \theta)x=-\frac{g}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \theta} (x- \frac {v_{0}^{2} \sin 2\theta}{2g})^{2}+\frac {v_{0}^{2} \sin^{2}\theta}{2g}$ ・・・⑤

となり、ｙとｘは二次関数の関係になっています。この運動が放物運動と呼ばれる所以です。

ところで最高点では鉛直方向の速度成分はゼロになるので③において $v_{y}=0$ としてその時の時間を $t_{0}$ とすると

$t_{0}=\frac {v_{0}\sin \theta}{g}$

となります。このことから投げてから再び地面に着く時間は二次関数の対称性から投げてから $2t_{0}=\frac {2v_{0}\sin \theta}{g}$

となります。また⑤の $-\frac{g}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \theta} (x- \frac {v_{0}^{2} \sin 2\theta}{2g})^{2}$ のところからθ＝45°のときが最もｘが大きい（最も飛ぶ）こともわかります。これは皆さんの実体験と合っているのではないでしょうか？