【数学】これを知らないと数学人生が大きく変わる?不等式とは?

不等式とは左辺と右辺の大小関係を示している式です。 不等式で使われる記号は5つあります。このような記号を不等号といいます。 x>y:xがyより大きい x<y:yがxより大きい x≧y:xがy以上(xがyより大きい、又はxとyは等しい) x≦y:yがx以上 x=y:xとyが等しい 5つあるといっても、

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]等式はわかるんだけど、不等式ってその反対って意味?[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]左辺と右辺、どっちが大きいとか小さいとかそういうやつよ。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]あーなるほど!以上とか未満とかよくわからないなー[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]確かに、不等式って等式よりもなんだか難しい。。[/speech_bubble]

    不等式とは左辺と右辺の大小関係を示している式です。
    不等式で使われる記号は5つあります。このような記号を不等号といいます。

    y:xがyより大きい

    y:yがxより大きい

    y:xがy以上(xがyより大きい、又はxとyは等しい)

    y:yがx以上

    y:xとyが等しい

    5つあるといっても、不等号の口の開いている向きが反対なだけで、覚えることは全然ありませんね。
    口の開いている方が大きい値、イコールが入ってるか入ってないかに気をつける。
    これだけ意識しておけば問題ありません!

    解くのもほぼ等式と同じように行うことができます。

    ”ほぼ”というように違うところもあるのでちゃんと読んでくださいね!

    不等式の解き方

    不等式も等式と同じように展開、移項、かけ算割り算を繰り返すことで
    未知の文字について解くことができます。

    注意が必要なのが不等式は等式と違って、負の数を両辺にかけたり割ったりする場合には不等号の向きを反転させる必要があるってことです。

    これ、重要でしかも忘れちゃう人が非常に多いので頭に叩き込んでくださいね!

    これはなぜかと言うと、
    イメージ的には、負の数は数字自体が大きければ大きいほど値としては小さくなっていくというところと関係があります。
    例えば、-2と-5という数字は数字が大きれば大きいほど小さくなりますね。
    これはプラスの場合が大きい数字であればあるほど数が大きくなるプラスの場合とは、逆の関係ですね。

    →上記のように、学校ではただルールとして教わっていることのなぜ?を考えることが数学や理科系の成績を上昇させるためのポイントです。
    積極的になぜを考えるようにしていきましょう。

    もうひとつ注意する点としては、不等号の種類や向きを勝手に変えないことです。

    こちらも実際にやってみないと実感がわかないと思いますのでやってみます。

    不等式の例題

    問題:2x+8>3xー3

    答え:2x−3x>−3−8    ←左側をxだけにする

    ーx>−11          ←xにマイナスがついてる!!

    x<11            ←不等号の向きを逆にする!

    答えはx<11です。

    不等号の向きを逆にするとはこういうことです。
    マイナスをかける瞬間に一緒に逆にしなきゃってことです。

    ちなみに移項をする操作では、マイナスがついてても不等号の向きを逆転させる必要はありませんよ。
    これも間違う人が多いので注意です

    基本の操作は方程式、連立方程式と同じです。そろそろ慣れてきましたか?

    気をつけるのは不等号を逆転させる所だけですから、早めにマスターしてしまいましょう!

【数学】連立方程式とは?| 5分でわかる受験のキソノキソ

このように連立方程式を苦手としている人は多いのではないでしょうか。 そもそも連立方程式とは、何本かの方程式がセットになって全部成り立っているやつのことで、方程式の本数分だけ、未知数(xとかyとか)の値を求める事ができます。 つまり、方程式2本なら文字2つ(x、y) 方程式が3本なら文字3つ(x、y、

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]連立方程式、いまいちどうしたら楽に解けるのかわからない…[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]連立方程式ってどんなのだっけ?[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]ほら、二本の方程式があるやつだよ[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]あれかあ…。どっちの式を何倍とかややこしいわよね(ToT)[/speech_bubble]

    このように連立方程式を苦手としている人は多いのではないでしょうか。

    そもそも連立方程式とは、何本かの方程式がセットになって全部成り立っているやつのことで、方程式の本数分だけ、未知数(xとかyとか)の値を求める事ができます。

    つまり、方程式2本なら文字2つ(x、y)
    方程式が3本なら文字3つ(x、y、z)まで求まるんです。

    ここでは連立方程式として最もよく出題される「二元連立一次方程式」(2つの文字を含む連立された一次の方程式)の解き方をやっていきたいと思います!

    連立方程式の解き方

    連立方程式を解くには、主に2つの方法があります。

    まず、代入法と呼ばれる方法です。
    片方の式をx= や y=  の形に変えて、それをもう片方の式に代入することで文字を1つ減らし、答えをもとめる方法です。

    もう一つは加減法と呼ばれる方法です。
    まず、式を何倍かすることで1つの文字について係数を合わせます。そこから、2つの式を足し引きすることでその文字を消去し、答えを求める方法です。

    両方とも同じ答えがでるのでどちらで解いてもいいですが、
    両方使えるようになってより早い方法を選べるようになっておくのが理想です!

    では例題を見てみましょう。

    連立方程式の例題

    問題:x+y=3 ー(1)

    2x+5y=9 ー(2)  の連立方程式を解け。

    答え:代入法で行う場合

    x+y=3 を、x=ーy+3に変形します。

    これをもう片方の式に代入して、 2(ーy+3)+5y=9   ←普通の1次方程式!

    これを解くと、y=1

    x=ーy+3より、yの値を代入してx=2

    加減法で行う場合

    xの係数を合わせることにします。
    (1)式を2倍して、2x+2y=6

    (2)ー(1)を行うと、3y=3 よってy=1

    (1)にこの結果を代入すると、x=2

    以上が2つの解き方です。
    当然ですが同じ答えにちゃんとなってますね!

    この問題なら代入法と加減法、どちらのほうが良いと思いましたか?

    この問題の場合、どちらでやっても手間はほとんど変わりません。
    しかし、問題によっては代入法で解くのが面倒になってしまうものもあります。
    例)連立方程式
    3x+5y=13
    2x-3y=-4      を解け。

    これを代入法、加減法でそれぞれ解いてみてください。
    加減法が面倒な場合も多い、ということがわかると思います。

    もし分からなかったら、あなたはこれから代入法愛用者になっても構いません☆
    自分の好きな方法で解きましょう!

【数学】方程式とはなにか?

方程式とは、値が分からない文字が入った等式のことです。 ”等式”というのは”等しい式”、つまり”=”で結ばれた式のことです。 この等式は文字にある値を代入したときに成り立ちます。 このように文字に代入して等式が成り立つ数のことを解といいます。 つまり、問題でよく見かける”方程式を解け”とは ’’この

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]問題でよく”方程式を解け”って出てくるけど、そもそも方程式って何?[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]なんだろうね…。確かにあまり意識したことないや。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]とりあえず式の中の文字当てはまる数を求めてるけど…。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]その文字に当てはまる数を求めることを”方程式を解く”っていうんじゃない?”[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]じゃあ方程式ってそういう文字が入った式の事なのかな?[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]まあそんなもんじゃない?![/speech_bubble]

    方程式とは、値が分からない文字が入った等式のことです。

    ”等式”というのは”等しい式”、つまり”=”で結ばれた式のことです。

    この等式は文字にある値を代入したときに成り立ちます。
    このように文字に代入して等式が成り立つ数のことをといいます。

    つまり、問題でよく見かける”方程式を解け”とは

    ’この文字に代入してイコールが成り立つ値を求めて!”という意味なのです。

    方程式の解き方

    方程式と言っても様々な種類があります。

    1次方程式、2次方程式、連立方程式、高次方程式、微分方程式などです。

    1次方程式とは値が分からない数が一次の等式のことです。
    ここでは最もシンプルな方程式である1次方程式についてだけ、説明します。

    ”一次”というのはx, y, a, bなどなど、式の中の文字が、1乗までしかないってことです!
    x², y³のように、に2乗3乗の文字はない、まあいたってシンプルな感じのやつですね。

    では解き方について簡単に説明です!

    ①カッコを展開したり移項をしたりして、xのついたやつを全部左側に持っていく。

    ②イコールの両辺に同じ数をかけたり割ったりして、

    x=(ある数)

    とする!これで求まります。

    と日本語で言っても何言ってるのかわかりませんね。
    数学は数字が言語ですから(嫌だとか言わないで(ToT))実際にやってみましょう。

    方程式の例題

    問題:方程式 3(x+5)=12  の解をもとめよ。

    答え:上のステップと照らし合わせてやってみます。

    ①カッコを展開する       3x+15=12
    15を移項する      3x=12-15
    3x=-3            ←左側がxだけの式になった!

    ②両辺を3で割る    x=-1

    答えはx=-1です! もとの方程式に代入して確かめて見てください。確かに成り立ってますね。

    ところで最初の段階で、「え、展開するの…?」と思った方、なかなか手慣れていますね。

    実はこの問題の場合、最初に両辺を3で割ってしまうと大変簡単に求まってしまいます!
    つまり、
    3(x+5)=12
    x+5=4
    x=-1

    という具合です!こっちのほうが数字が小さくてなんだか気持ちが良いと思いませんか?
    でもこうやって最初の式の段階で両辺を同じ数で割れることはそんなに多くありません。
    割るときはほんとに割れるか確かめてからですよ!

    ポイント

    これは本当に本当に基本的な1次方程式の解き方です。
    他に、分数や小数、ときにはルート(√2とかそういうやつ)が入ってくるものもあります。
    ここではそんなに全パタ−ンを紹介することはとてもできないので、みなさんお手持ちの教科書や問題集などでの練習が不可欠です。

    しかしどんな問題でも、基本は

    ★カッコの展開、移項

    ★両辺を同じ数でかける、割る

    の操作だけで完了できます!どの操作をしたら x= ◯ というゴールの形に近づけるか考えて、少しずつ計算に慣れていきましょう!

【数学】定数とか変数ってそもそも何?

などとよくわからない認識をしている人はいませんか? あるいは分からなくても問題ないし〜と思っていませんか? 数学を得意としてる人でも、いざ違いはと聞かれると答えられない人も多いのではないでしょうか。定数と変数の意味の違い、それが分かると分からないでは数学の理解にも差が出てきます! 今この機会にそれを

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]数学の教科書とかでさあ、定数とか変数とかあるじゃん。あれってどういう意味?[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]定まってる数と変わる数のことよ。そのままよ。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]それがわからないから聞いてるんじゃん![/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]うーんそうねえ。xとかyとかは変わりそう。きっと変数よ。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]じゃあ1とか2とかいう数字が定数ってことかな。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]あれ、でも定数aを求めよって問題もあるわよね…aとかbとかは定数なのかも![/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]なるほど文字の種類によって定数か変数かが違うんだね!ありがとう山田さん![/speech_bubble]

    などとよくわからない認識をしている人はいませんか?

    あるいは分からなくても問題ないし〜と思っていませんか?

    数学を得意としてる人でも、いざ違いはと聞かれると答えられない人も多いのではないでしょうか。定数と変数の意味の違い、それが分かると分からないでは数学の理解にも差が出てきます!
    今この機会にそれを学んでおきましょう。

    定数、変数の意味

    難しそうな言葉が出てきたもうやだつらいやめよう。。。。

    なんて言わないでください。難しく考える必要はありません。

    数とは「値が変化しないもの。定まっているもの。」
    数とは「値が変化するもの。定まっていないもの。」

    意味としては漢字のそのまんまです。ただそれだけです。
    でもこれだけ言われてもだから何?状態ですね。
    もう少し詳しく見ていきましょう。

    定数とは

    まず小山くんが「1とか2とかいう数字は定数かなあ」と言っていましたが、それは正しいでしょうか? 正しくないでしょうか?

    これは正しいです。1、2と値が定まっているのですから定数となりますね。
    これは知っていまえば誰でも見分けがつきます。簡単です。

    問題は文字の定数です。
    「文字ってことは何の値が入るかわからないんでしょう。そんなのxとかyと何が違うんだよ〜〜」
    そのお気持ち大変よく理解できます。何が違うのでしょう?

    ここでひとつ確認しておきたいことは「値が分からない」ことと「値が定まっていない」ことは別問題であるということです。

    つまり、問題でよく出てくる「定数aの値を求めよ。」というとき、aの値はまだ我々にはわからないけれども、実は何かしらに定まった値を持っている!ということなのです。

    問題たちは、その実は定まってる値をあなたたちで見つけてくれよって言ってるわけですね!

    変数とは

    ではそれに対して変数とは一体何だったのでしょう。

    変数とは、いろいろな値を取れる数です。
    xやyで表されることが一般的なのではないでしょうか。

    関数を考えてみると、より分かりやすくなります。

    例えばy=ax²という関数を考えてみます。xとyが変数でaを定数と見ます。


    グラフを考えれば分かるように、xはいろいろな値を取ることができますし、それにともなってyもいろいろな値を取りますね。
    つまり「定まっていない値」「変化する値」になっています。
    一方aは、たとえば1だったり、−2だったり、ある一定の値を取る文字です。

    例題

    今まで日本語で説明してきましたが、ここで簡単な例題を考えて終わりにしましょう。

    問題:y=ax² (xとyが変数でaが定数)  が(x,y)=(2,-8)を通るとき、定数aの値を求めよ。

    解答:y=ax² に (x,y)=(2,-8)  を代入して -8=4a      ∴a=-2

    とても初歩的な問題ですが、この問題を噛み砕いてみます。

    xとyはいろいろな値を変化する値ですが、その(x,y)=(2,-8)という座標は通っています。

    ところでaは、実は定まった値を取るらしいのですがそれがまだ分からないので、それを求めましょうね。
    ということです!

    少しつかめましたか? 今後「定数」「変数」という言葉を見かけたら少し立ち止まって考えてみてください。 理解が深まると思います。