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2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究大問5

2019.10.07

方針の立て方 (1) 特筆事項なし． (2) 考えるべき条件は『「2戦1敗」し，かつ「優勝する」こと』である．よって，「2戦1敗」する場合をまず考え，その中から「優勝する」場合を考えればよい．ここで，『「2戦1敗」し，かつ「優勝しない」』という場合の数が少ないということに気付けば，「優勝しない」場合

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方針の立て方

(1)
特筆事項なし．

(2)
考えるべき条件は『「2戦1敗」し，かつ「優勝する」こと』である．よって，「2戦1敗」する場合をまず考え，その中から「優勝する」場合を考えればよい．ここで，『「2戦1敗」し，かつ「優勝しない」』という場合の数が少ないということに気付けば，「優勝しない」場合を求め，それを取り除く方がよいと判断する．(※これは実は余事象の考え方である)

(3)
前問と同様に「1戦2敗」する場合をまず考え，その中から「優勝する」場合を考えればよいが，これを満たすことはないため，0である．

(4)
(1)～(3)までの解答を合わせれば，リーグ戦でチームAが優勝する確率は求まる．よって，トーナメント戦でチームAが優勝する確率を求め，素直に比較すればよいと判断する．

解答例

(1) $p^3$

(2)
チームAが2勝1敗となる確率を求める．
どのチームに負けるかで3通りあるので， $3\times p^2\left(1-p\right)=3p^2\left(1-p\right)$ ．
チームAの戦績が2勝1敗だったとしても，チームAに勝ったチームが全勝すると，チームAは優勝できない．チームAが2勝1敗で，かつ，チームAに勝ったチームが全勝する確率は，チームAとの対戦以外の対戦2回にも勝つ確率を考えればいいので， $3p^2\left(1-p\right)\times\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}p^2\left(1-p\right)$
よって，求める確率は，
$3p^2\left(1-p\right)-\frac{3}{4}p^2\left(1-p\right)=\frac{9}{4}p^2\left(1-p\right)$ ……(答)

(3)
チームAを負かした2チームについて着目する．チームAに勝っているので，両チームとも1勝はしていることになる．ここで，この2チーム同士の試合を考えると，必ずどちらかが勝つので，どちらかのチームの勝利数は，この段階で2となるはずである．よって，1勝2敗のチームAが優勝することはない．
よって，求める確率は0……(答)

(4)
結論：リーグ戦……(答)
理由：0勝3敗で優勝することはないため，リーグ戦でAが優勝する確率は(1)～(3)の結果と合わせて考えると， $p^3+\frac{9}{4}p^2\left(1-p\right)=\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)$ である．一方，トーナメント戦で優勝する確率は $p^2$ である( $\because$ 2回勝てば優勝する)．ここで，両者の差を取って考えると，
$\left\{\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)\right\}-\left\{p^2\right\}=\frac{5}{4}p^2\left(1-p\right)>0$ より， $p^2<\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)$
これはリーグ戦で優勝する確率が，トーナメント戦で優勝する確率より大きいことに他ならない．

解説

(1)
A対B…確率 $p$ で勝つ
A対C…確率 $p$ で勝つ
A対D…確率 $p$ で勝つ
よって，チームAが全試合に勝利する確率は $p^3$ となる．
全勝すれば優勝するので，求める確率は $p^3$ ……(答)

2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究大問1

2019.10.07

方針の立て方 (1) 円の問題(それも半径の情報が与えられている問題)であるため，中心を基準に考える． (2) はとの二変数関数であるため，何とかして一変数化したい．するとを用いることが思いつく． (3) 定義通り計算すればよい．解答例 (1) (2) (3)平均値：点標準偏差：解説 (1)

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方針の立て方

(1)
円の問題(それも半径の情報が与えられている問題)であるため，中心を基準に考える．

(2)
$z$ は $x$ と $y$ の二変数関数であるため，何とかして一変数化したい．すると $xy=4$ を用いることが思いつく．

(3)
定義通り計算すればよい．

解答例
(1) $2\sqrt3$
(2) $0\leqq z<4$
(3)平均値： $75$ 点
標準偏差： $25\sqrt3$

解説

(1)

左図のように，正三角形に分割して考えると，
求める面積は，
$6\times\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}\cdot1=2\sqrt3$ ……(答)

(2)
$z=\left(\log_2{x}\right)^2\left(\log_2{\frac{8}{x}}\right)=\left(\log_2{x}\right)^2\left(\log_2{8}-\log_2{x}\right)=\left(\log_2{x}\right)^2\left(3-\log_2{x}\right)=-\left(\log_2{x}\right)^3+3\left(\log_2{x}\right)^2$
$y>1$ より， $\frac{4}{x}>1$ ． $x\geqq 1$ と合わせると， $1\leqq x<4$ ．
$0\leqq\log_2{x}<2$
ここで， $\log_2{x}=X$ とおけば，
$z=-X^3+3X^2$ ( $0\leqq X<2$ )
$\frac{dz}{dX}=-3X^2+6X=-3X\left(X-2\right)$
増減表を描くと，

$X$	$0$	$\cdots$	$2$
$\frac{dz}{dX}$	$0$	$+$	$0$
$z$	$0$	$\nearrow$	$4$

$\therefore0\leqq z<4$ ……(答)

(3)
平均値： $\frac{25\cdot0+75\cdot100}{100}=75$ 点……(答)
標準偏差： $\sqrt{\frac{25\cdot\left(0-75\right)^2+75\cdot\left(100-75\right)^2}{100}}=25\sqrt3$ ……(答)