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2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問5

2019.10.07

方針の立て方 (1) 特筆事項なし. (2) 考えるべき条件は『「2戦1敗」し,かつ「優勝する」こと』である.よって,「2戦1敗」する場合をまず考え,その中から「優勝する」場合を考えればよい.ここで,『「2戦1敗」し,かつ「優勝しない」』という場合の数が少ないということに気付けば,「優勝しない」場合

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  • 方針の立て方

    (1)
    特筆事項なし.

    (2)
    考えるべき条件は『「2戦1敗」し,かつ「優勝する」こと』である.よって,「2戦1敗」する場合をまず考え,その中から「優勝する」場合を考えればよい.ここで,『「2戦1敗」し,かつ「優勝しない」』という場合の数が少ないということに気付けば,「優勝しない」場合を求め,それを取り除く方がよいと判断する.(※これは実は余事象の考え方である)

    (3)
    前問と同様に「1戦2敗」する場合をまず考え,その中から「優勝する」場合を考えればよいが,これを満たすことはないため,0である.

    (4)
    (1)~(3)までの解答を合わせれば,リーグ戦でチームAが優勝する確率は求まる.よって,トーナメント戦でチームAが優勝する確率を求め,素直に比較すればよいと判断する.

    解答例

    (1)p^3

    (2)
    チームAが2勝1敗となる確率を求める.
    どのチームに負けるかで3通りあるので,3\times p^2\left(1-p\right)=3p^2\left(1-p\right)
    チームAの戦績が2勝1敗だったとしても,チームAに勝ったチームが全勝すると,チームAは優勝できない.チームAが2勝1敗で,かつ,チームAに勝ったチームが全勝する確率は,チームAとの対戦以外の対戦2回にも勝つ確率を考えればいいので,3p^2\left(1-p\right)\times\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}p^2\left(1-p\right)
    よって,求める確率は,
    3p^2\left(1-p\right)-\frac{3}{4}p^2\left(1-p\right)=\frac{9}{4}p^2\left(1-p\right)……(答)

    (3)
    チームAを負かした2チームについて着目する.チームAに勝っているので,両チームとも1勝はしていることになる.ここで,この2チーム同士の試合を考えると,必ずどちらかが勝つので,どちらかのチームの勝利数は,この段階で2となるはずである.よって,1勝2敗のチームAが優勝することはない.
    よって,求める確率は0……(答)

    (4)
    結論:リーグ戦……(答)
    理由:0勝3敗で優勝することはないため,リーグ戦でAが優勝する確率は(1)~(3)の結果と合わせて考えると,p^3+\frac{9}{4}p^2\left(1-p\right)=\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)である.一方,トーナメント戦で優勝する確率はp^2である(\because2回勝てば優勝する).ここで,両者の差を取って考えると,
    \left\{\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)\right\}-\left\{p^2\right\}=\frac{5}{4}p^2\left(1-p\right)>0より,p^2<\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)
    これはリーグ戦で優勝する確率が,トーナメント戦で優勝する確率より大きいことに他ならない.

    解説

    (1)
    A対B…確率pで勝つ
    A対C…確率pで勝つ
    A対D…確率pで勝つ
    よって,チームAが全試合に勝利する確率はp^3となる.
    全勝すれば優勝するので,求める確率はp^3……(答)

2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問1

2019.10.07

方針の立て方 (1) 円の問題(それも半径の情報が与えられている問題)であるため,中心を基準に考える. (2) はとの二変数関数であるため,何とかして一変数化したい.するとを用いることが思いつく. (3) 定義通り計算すればよい. 解答例 (1) (2) (3)平均値:点 標準偏差: 解説 (1)

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  • 方針の立て方

    (1)
    円の問題(それも半径の情報が与えられている問題)であるため,中心を基準に考える.

    (2)
    zxyの二変数関数であるため,何とかして一変数化したい.するとxy=4を用いることが思いつく.

    (3)
    定義通り計算すればよい.

    解答例
    (1)2\sqrt3
    (2)0\leqq z<4
    (3)平均値:75
    標準偏差:25\sqrt3

    解説

    (1)

    左図のように,正三角形に分割して考えると,
    求める面積は,
    6\times\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}\cdot1=2\sqrt3……(答)

    (2)
    z=\left(\log_2{x}\right)^2\left(\log_2{\frac{8}{x}}\right)=\left(\log_2{x}\right)^2\left(\log_2{8}-\log_2{x}\right)=\left(\log_2{x}\right)^2\left(3-\log_2{x}\right)=-\left(\log_2{x}\right)^3+3\left(\log_2{x}\right)^2
    y>1より,\frac{4}{x}>1x\geqq 1と合わせると,1\leqq x<4
    0\leqq\log_2{x}<2
    ここで,\log_2{x}=Xとおけば,
    z=-X^3+3X^2(0\leqq X<2)
    \frac{dz}{dX}=-3X^2+6X=-3X\left(X-2\right)
    増減表を描くと,

    X 0 \cdots 2
    \frac{dz}{dX} 0 + 0
    z 0 \nearrow 4

    \therefore0\leqq z<4……(答)

    (3)
    平均値:\frac{25\cdot0+75\cdot100}{100}=75点……(答)
    標準偏差:\sqrt{\frac{25\cdot\left(0-75\right)^2+75\cdot\left(100-75\right)^2}{100}}=25\sqrt3……(答)

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