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2017年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究大問4

2019.09.20

方針の立て方 (1) 特筆事項なし． (2) は上の点であること，前問での長さを求めていたことから，とおいて，ベクトルの問題に持ち込むと考える．他に「点は上の点である」という情報が残っているので，これを加味して考える． (3) 前問で点は上の点であることは考えているので，後は重心の情報を加味すればよ

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方針の立て方

(1)
特筆事項なし．

(2)
$\mathrm{OM}$ は $\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime$ 上の点であること，前問で $\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime$ の長さを求めていたことから， $\vec{\mathrm{OM}}=k\vec{\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime}$ とおいて，ベクトルの問題に持ち込むと考える．他に「点 $\mathrm{M}$ は $\triangle\mathrm{PQR}$ 上の点である」という情報が残っているので，これを加味して考える．

(3)
前問で点 $\mathrm{M}$ は $\triangle\mathrm{PQR}$ 上の点であることは考えているので，後は重心の情報を加味すればよい．

(4)
前問とは違い，垂心の位置ベクトルを書き下すのは難しいため，別の方法で，垂心の情報を盛り込まねばならない．すると，垂直ならば内積が0という考え方が思いつく．

解答例

(1) $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
(2) $\frac{pqr}{pq+qr+rp}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
(3)
$\triangle\mathrm{PQR}$ の重心が点 $\mathrm{M}$ であるので， $\vec{\mathrm{OM}}=\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OP}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OQ}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OR}}$ となる．
よって，前問の議論(解説参照)で $\begin{cases} x=\frac{1}{3} \\ y=\frac{1}{3} \end{cases}$ となり，故に $\begin{cases} p=3k \\ q=3k \\ r=3k \end{cases}$
$\therefore p\colon q\colon r=1\colon1\colon1$ ……(答)

(4)
(2)での議論より， $\bigm\vec{\mathrm{OM}}=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OO}^\prime}=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OC}}$ である．
$\mathrm{OM}\bot\mathrm{PQ},\mathrm{OM}⊥\mathrm{PR}$ より，
$\begin{cases} \vec{\mathrm{OM}}\cdot\vec{\mathrm{PQ}}=0 \\ \vec{\mathrm{OM}}\cdot\vec{\mathrm{PR}}=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \vec{\mathrm{OM}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OQ}}-\vec{\mathrm{OP}}\right)=0 \\ \vec{\mathrm{OM}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OR}}-\vec{\mathrm{OP}}\right)=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} qb^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}-pa^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}=0 \\ rc^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}-pa^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}=0 \end{cases}$
$\therefore\begin{cases} p=\frac{c^2}{a^2}r \\ q=\frac{c^2}{b^2}r \end{cases}$
$\therefore p\colon q\colon r=\frac{c^2}{a^2}r\colon\frac{c^2}{b^2}r\colon r=b^2c^2\colon c^2a^2\colon a^2b^2$ ……(答)

解説

(1)
$\triangle\mathrm{OAC}^\prime$ について三平方の定理を使うことで，
$\mathrm{OC}^\prime=\sqrt{a^2+b^2}$
$\triangle\mathrm{OC}^\prime\mathrm{O}^\prime$ について三平方の定理を使うことで，
$\mathrm{OO}^\prime=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

(2)
$\vec{\mathrm{OP}}=p\vec{\mathrm{OA}},\vec{\mathrm{OQ}}=q\vec{\mathrm{OB}},\vec{\mathrm{OR}}=r\vec{\mathrm{OC}},\vec{\mathrm{OO}^\prime}=\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}$ である．
点 $\mathrm{M}$ は対角線 $\mathrm{OO}^\prime$ 上の点のため，定数 $k$ を用いて，
$\vec{\mathrm{OM}}=k\vec{\mathrm{OO}^\prime}=k\vec{\mathrm{OA}}+k\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OC}}$
と表せる．
また，点 $\mathrm{M}$ は $\triangle\mathrm{PQR}$ 上の点でもあるため，定数 $x,y$ を用いて，
$\vec{\mathrm{OM}}=x\vec{\mathrm{OP}}+y\vec{\mathrm{OQ}}+\left(1-x-y\right)\vec{\mathrm{OR}}=xp\vec{\mathrm{OA}}+yq\vec{\mathrm{OB}}+\left(1-x-y\right)r\vec{\mathrm{OC}}$
と表せる．
2式で係数比較すると，
$\begin{cases} k=xp \\ k=yq \\ k=\left(1-x-y\right)r \end{cases}$
これを解くと， $k=\frac{pqr}{pq+qr+rp}$ となる．
$\therefore\left|\vec{\mathrm{OM}}\right|=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime}\right|=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ……(答)

2017年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究大問2

2019.09.20

方針の立て方 (1) 実際に題意を満たす取り出し方を考えてみれば方針を得られる． (2) 余事象を考えた方が考えるべきパターン数が少ないことから，余事象で攻めると判断する． (3) 実際に題意を満たす取り出し方を考えると，3つの数字全てが異なる必要がある．逆に，3つの数字が全て異なれば，取り出す順番

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方針の立て方

(1)
実際に題意を満たす取り出し方を考えてみれば方針を得られる．

(2)
余事象を考えた方が考えるべきパターン数が少ないことから，余事象で攻めると判断する．

(3)
実際に題意を満たす取り出し方を考えると，3つの数字全てが異なる必要がある．逆に，3つの数字が全て異なれば，取り出す順番は一意的(一対一)に決まる．つまり，題意を満たす場合の数を求めるという問題を，3つの数字の選び方を求めるという問題に言い換えることができる．このように一対一対応している際には，問題を言い換えることで考えやすくなることが多いのでおさえておこう．

解答例

(1) $\frac{1}{2}n\left(n-1\right)$ 通り
(2) $n\left(3n-2\right)$ 通り
(3) $\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)$ 通り

解説

(1)
題意を満たすカードの引き方を下表にまとめる．

$X$ の値	$Y$ の値	$Z$ の値	場合の数(通り)
$1$	$1$	$2\sim n$	$n-1$
$2$	$2$	$3\sim n$	$n-2$
$3$	$3$	$4\sim n$	$n-3$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$n-1$	$n-1$	$n$	$1$

よって，求める場合の数は，
$\sum_{k=1}^{n-1}\left(n-k\right)=\frac{1}{2}\ n\left(n-1\right)$ 通り．……(答)

(2)
全ての場合の数は $n^3$ 通り．
以下，余事象を考え，全て等しくない場合の数を求める．
1回目の試行ではどの数字のカードを取り出しても良いため， $n$ 通りの取り出し方がある．
2回目の試行では1回目の試行で取り出したカード以外のカードを取り出さなければならないため， $n-1$ 通りの取り出し方がある．
2回目の試行では1回目と2回目の試行で取り出したカード以外のカードを取り出さなければならないため， $n-2$ 通りの取り出し方がある．
よって，全て等しくない場合の数は， $n\left(n-1\right)\left(n-2\right)$ 通り．
よって，求める場合の数は，
$n^3-n\left(n-1\right)\left(n-2\right)=n\left(3n-2\right)$ 通り．……(答)

(3)
取り出される3種類の数字が決まってしまえば，題意を満たす取り出し方は一意的に決まる(小さい順に取り出されねばならない)．よって， $n$ 種類の数字から3種類を取り出す場合の数を求めれば，それが答えである．
$\therefore\ {_n^}\mathrm{C}_3=\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)$ 通り．……(答)

(別解)

許される $X$ の範囲は， $1\leqq X\leqq n-2$ である．
許される $Y$ の範囲は， $X+1\leqq Y\leqq n-1$ である．
許される $Z$ の範囲は， $Y+1\leqq Z\leqq n$ である．
$\therefore\sum_{X=1}^{n-2}\sum_{Y=X+1}^{n-1}\sum_{Z=Y+1}^{n}1=\sum_{X=1}^{n-2}\sum_{Y=X+1}^{n-1}\left(n-Y\right)=\sum_{X=1}^{n-2}\frac{\left(n-x-1\right)\left(n-x\right)}{2}=\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)$ 通り．……(答)
という解答でも可能です．(但し，計算はこちらの方が圧倒的に煩雑なので，本解答の解法をお勧めします…)

2017年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究大問1

2019.09.20

方針の立て方 (1)特筆事項なし． (2)乗のまま総和を取るのは難しいため，一先ず指数をに直す．するととても簡単な形になり，解答を得る． (3)特筆事項なし． (4)条件式を使うにはの形を作り出す必要があるため，積和の公式を利用することを考える．解答例 (1) (2) (3) (4) 解説 (1)

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方針の立て方

(1)特筆事項なし．

(2) $2k$ 乗のまま総和を取るのは難しいため，一先ず指数を $k$ に直す．するととても簡単な形になり，解答を得る．

(3)特筆事項なし．

(4)条件式を使うには $x\pm y$ の形を作り出す必要があるため，積和の公式を利用することを考える．

解答例

(1) $n\cdot4^n$
(2) $-i$
(3) $n=17$
(4) $\frac{2}{15}$

解説

(1)
$S=4+7\cdot4+10\cdot4^2+\cdots\cdots+\left(3n+1\right)\cdot4^{n-1}$ とおくと，
$S=4+7\cdot4+10\cdot4^2+\cdots\cdots+\left(3n+1\right)\cdot4^{n-1}\bigm4S=4\cdot4+7\cdot4^2\ \ +\cdots\cdots+3n\cdot4^{n-1}+\left(3n+1\right)\cdot4^n$
両辺を引くと，
$-3S=4+3\left(4+4^2+\cdots\cdots+4^{n-1}\right)-\left(3n+1\right)\cdot4^n=4+3\cdot\frac{4\left(1-4^{n-1}\right)}{1-4}-\left(3n+1\right)\cdot4^n=-3n\cdot4^n$
$\therefore S=n\cdot4^n$ ……(答)

(2)
$\sum_{k=1}^{2017}\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{2k}=\sum_{k=1}^{2017}\left(-i\right)^k=\frac{-i\left\{1-\left(-i\right)^{2017}\right\}}{1-\left(-i\right)}=\frac{-i\left(1+i\right)}{1+i}=-i$ ……(答)

(3)
余事象で考えれば，
$p_n=1-\left(\frac{5}{6}\right)^n$
$\therefore p_n\geqq0.95\Leftrightarrow0.05\geqq\left(\frac{5}{6}\right)^n$
両辺が正のため，両辺の常用対数を取ることができて，
$\log_{10}{0.05}\geqq\log_{10}{\left(\frac{5}{6}\right)^n}$
ここで，
$\log_{10}{0.05}=\log_{10}{\left(\frac{1}{2}\times{10}^{-1}\right)}=-1-\log_{10}{2}=-1.3010$
$\log_{10}{\left(\frac{5}{6}\right)^n}=n\log_{10}{\frac{5}{6}}=n\log_{10}{\frac{10}{2^2\cdot3}}=n\left(1-2\log_{10}{2}-\log_{10}{3}\right)=-0.0791n$
より，
$-1.3010\geqq-0.0791n\Leftrightarrow n\geqq\frac{1.3010}{0.0791}=16.44\cdots\cdots$
よって，求める $n$ の値は，
$n=17$ ……(答)

(4)
積和の公式と倍角の公式を用いれば，
$\sin{2x}\sin{2y}=\frac{1}{2}\left\{\cos{2\left(x-y\right)}-\cos{2\left(x+y\right)}\right\}=\frac{1}{2}\left\{2{\mathrm{cos}}^2\left(x-y\right)-1-\left(1-2{\mathrm{sin}}^2\left(x+y\right)\right)\right\}={\mathrm{cos}}^2\left(x-y\right)+{\mathrm{sin}}^2\left(x+y\right)-1=\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt5}\right)^2-1=\frac{2}{15}$ ……(答)