方針の立て方 (1) 特筆事項なし. (2) は上の点であること,前問での長さを求めていたことから,とおいて,ベクトルの問題に持ち込むと考える.他に「点は上の点である」という情報が残っているので,これを加味して考える. (3) 前問で点は上の点であることは考えているので,後は重心の情報を加味すればよ
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方針の立て方
(1)
特筆事項なし.(2)
は
上の点であること,前問で
の長さを求めていたことから,
とおいて,ベクトルの問題に持ち込むと考える.他に「点
は
上の点である」という情報が残っているので,これを加味して考える.
(3)
前問で点は
上の点であることは考えているので,後は重心の情報を加味すればよい.
(4)
前問とは違い,垂心の位置ベクトルを書き下すのは難しいため,別の方法で,垂心の情報を盛り込まねばならない.すると,垂直ならば内積が0という考え方が思いつく.解答例
(1)
(2)
(3)
の重心が点
であるので,
となる.
よって,前問の議論(解説参照)でとなり,故に
……(答)
(4)
(2)での議論より,である.
より,
……(答)
解説
(1)
について三平方の定理を使うことで,
について三平方の定理を使うことで,
(2)
である.
点は対角線
上の点のため,定数
を用いて,
と表せる.
また,点は
上の点でもあるため,定数
を用いて,
と表せる.
2式で係数比較すると,
これを解くと,となる.
……(答)