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2016年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究大問3

2019.09.20

方針の立て方 (1) 基本的な問題であるため特筆事項なし． (2) 前問ではの考察をしたので，本問ではについて考察すれば必要十分だと判断する．そしてそれは前問と同じように処理すればよい．後は2つの考察結果を連立して考えれば，解答が得られる．解答例 (1) ア：イ：ウ：エ：オ： (2) 解

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方針の立て方

(1)
基本的な問題であるため特筆事項なし．

(2)
前問では $1+\log_{\sqrt x}{\left(n^2\right)}<\log_n{\sqrt x}$ の考察をしたので，本問では $\log_n{\sqrt x}<\frac{1}{2}\left(1+\log_{\sqrt n}{3}\right)$ について考察すれば必要十分だと判断する．そしてそれは前問と同じように処理すればよい．
後は2つの考察結果を連立して考えれば，解答が得られる．

解答例

(1)
ア： $4$
イ： $\frac{1}{2}$
ウ： $-2$
エ： $0$
オ： $4$
(2) $\left(n,x\right)=\left(2,17\right)$

解説

(1)
$1+\log_{\sqrt x}{\left(n^2\right)}=1+\frac{\log_n{\left(n^2\right)}}{\log_n{\sqrt x}}=1+\frac{2}{\frac{1}{2}\log_n{x}}=1+\frac{4}{t}$ ……(答)
$\log_n{\sqrt x}=\frac{1}{2}\log_n{x}=\frac{1}{2}t$ ……(答)
よって，
$1+\log_{\sqrt x}{\left(n^2\right)}<\log_n{\sqrt x}\Leftrightarrow1+\frac{4}{t}<\frac{1}{2}t\Leftrightarrow \begin{cases} t>0 \\ 0<t^2-2t+8=\left(t-4\right)\left(t+2\right) \end{cases}$ または $\begin{cases} t<0 \\ 0>t^2-2t+8=\left(t-4\right)\left(t+2\right) \end{cases}\Leftrightarrow t>4,-2<t<0$
よって， $-2<t<4$ ……(答)

(2)
底の条件より， $n\geqq2$ ， $x\geqq2$ である．
$\frac{1}{2}\left(1+\log_{\sqrt n}{3}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\log_n{3}}{\log_n{\sqrt n}}\right)=\frac{1}{2}\left(1+2\log_n{3}\right)$
$\therefore\log_n{\sqrt x}<\frac{1}{2}\left(1+\log_{\sqrt n}{3}\right)\Leftrightarrow\log_n{x}<1+2\log_n{3}\Leftrightarrow\log_n{\frac{x}{9}}<1$
$\therefore x<9n$
また， $1+\log_{\sqrt x}{\left(n^2\right)}<\log_n{\sqrt x}$ が成り立つには，前問の結果より，
$-2<t<4\Leftrightarrow-2<\log_n{x}<4\Leftrightarrow n^{-2}<x<1$ または $4^n<x$
が成り立てば必要十分．ここで， $x\geqq2$ より， $4^n<x$ のみ可．
$\begin{cases} x<9n \\ 4^n<x \end{cases}\Leftrightarrow4^n<x<9n$
を満たすのは， $n\geqq2$ の範囲では $n=2$ のみであり，そのとき $x=17$ のみ可．
$\therefore\left(n,x\right)=\left(2,17\right)$ ……(答)

2016年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究大問4

2019.09.20

方針の立て方 (1) 基本的な問題であるため特筆事項なし． (2) (ⅰ)本問は，「弧の長さ」を「角度」を用いて表せという問題である．この長さと角度といえば弧度法であるため，弧度法の関係式から考える． (ⅱ)正角形ということで，やそれに比例している頂角が全て等しくなることを考える．とは前問で求めたの

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方針の立て方

(1)
基本的な問題であるため特筆事項なし．

(2)
(ⅰ)本問は，「弧の長さ」を「角度」を用いて表せという問題である．この長さと角度といえば弧度法であるため，弧度法の関係式から考える．
(ⅱ)正 $n$ 角形ということで， $a_k$ やそれに比例している頂角が全て等しくなることを考える． $a_k$ と $a_{k+1}$ は前問で求めたので，試しに $a_{k+2}$ を求めてみて挙動を確認する．すると， $a_{k+2}=a_k$ が分かり解法を得る．
(ⅲ)前問と同じ方針で解ける．
(ⅳ)内角1個に関する公式はないため，代わりに内角の和の公式から考える． $\alpha$ を $n$ の式で表せてしまえば，後は前問の結果を $n$ に変形するだけである．

解答例

(1)
ア： $2\sin{2x}$
イ： $\frac{\pi}{4}$
ウ： $2$

(2)
(ⅰ)
円 $\mathrm{O}$ の半径は1のため， $a_k$ の長さと $\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$ の頂角の角度(弧度法)は一致する．
$\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$ の頂角は $\pi-2\theta_k$
$\therefore a_k=\pi-2\theta_k$ ……(答)
$\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_{k+1}\mathrm{A}_{k+2}$ の頂角は $\pi-2\theta_{k+1}=\pi-2\alpha+2\theta_k$ ( $\because\theta_{k+1}=\alpha-\theta_k$ )
$\therefore a_{k+1}=\pi-2\alpha+2\theta_k$ ……(答)
$\therefore a_k+a_{k+1}=\left(\pi-2\theta_k\right)+\left(\pi-2\alpha+2\theta_k\right)=2\pi-2\alpha$ ……(答)
(ⅱ)
$\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_{k+2}\mathrm{A}_{k+3}$ の頂角は $\pi-2\theta_{k+2}=\pi-2\alpha+2\theta_{k+1}=\pi-2\theta_k$ となる． $\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$ の頂角を $\varphi_k$ と表せば， $\varphi_{k+2}=\varphi_k$ となる．よって， $n$ が奇数のとき，
$\varphi_2=\varphi_4=\cdots\cdots=\varphi_{n-1}=\varphi_{n+1}$
$\varphi_{n+1}=\varphi_1$ であり，かつ， $\varphi_1=\varphi_3=\cdots\cdots=\varphi_n$ であることを用いると，
$\varphi_1=\varphi_2=\varphi_3=\cdots\cdots=\varphi_{n-1}=\varphi_n$ となり，全ての頂角が等しいことが分かる．これは $\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$ ( $k=1,2,\cdots\cdots,n$ )は全て合同であることを表す．よって，底角も等しい．これより， $n$ 角形 $\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}\cdots\mathrm{A}_n$ は正 $n$ 角形であることが分かる．
証明終了．
(ⅲ)
前問と同様の議論を行えば， $n$ が偶数のとき， $\varphi_1=\varphi_3=\cdots\cdots=\varphi_{n-1}$ であり， $\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$ ( $k=1,3,\cdots\cdots,n-1$ )は全て合同であることが示せる．よって，これらの底角も等しく，つまり， $\theta_1=\theta_3=\cdots\cdots=\theta_{n-1}$ となる．
証明終了．
また，同様にして， $\theta_2=\theta_4=\cdots\cdots=\theta_n$ が示せる．
ところで， $\theta_1=\theta$ より， $\theta_2=\alpha-\theta_1=\alpha-\theta$ である．
$\therefore\varphi_1=\pi-2\theta,\varphi_2=\pi-2\alpha+2\theta$
$\therefore\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin{\varphi_1}=\frac{1}{2}\sin{\left(\pi-2\theta\right)}=\frac{1}{2}\sin{2\theta}$
$\therefore\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin{\varphi_2}=\frac{1}{2}\sin{\left(\pi-2\alpha+2\theta\right)}=\frac{1}{2}\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}$
$\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ と合同(つまり，同じ面積)な三角形は $\frac{n}{2}$ 個あり， $\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ と合同(つまり，同じ面積)な三角形も $\frac{n}{2}$ 個ある．
$\therefore S_n\left(\theta\right)=\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin{2\theta}+\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}\right\}$ ……(答)
(ⅳ)
$\alpha$ ： $\alpha=\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}$
最大値： $\frac{n}{2}\sin{\left(\frac{2\pi}{n}\right)}$
$\theta$ の値： $\theta=\frac{n-1}{2n}\pi$

解説

(1)

上図より，長方形 $\mathrm{ABCD}=2\times\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{\left(\pi-2x\right)}+2\times\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{2x}=2\sin{2x}$ ……(答)
よって，長方形 $\mathrm{ABCD}$ が最大面積となるのは， $x=\frac{\pi}{4}$ のときで，そのとき2……(答)

(2)
(ⅳ)
$n$ 角形の内角の和は $\left(n-2\right)\pi$ である．内角は $n$ 個あるので，
$\alpha=\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}$ ……(答)
よって，途中で和積の公式を用いれば，
$S_n\left(\theta\right)=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}\right\}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{2\left(\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}-\theta\right)}\right\}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{\left(2\pi-\frac{4\pi}{n}-2\theta\right)}\right\}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}-\sin{2\left(\frac{2\pi}{n}+\theta\right)}\right\}=\frac{n}{2}\cos{\left(\frac{\pi}{n}+2\theta\right)}\sin{\left(-\frac{2\pi}{n}\right)}=-\frac{n}{2}\cos{\left(\frac{\pi}{n}+2\theta\right)}\sin{\left(\frac{2\pi}{n}\right)}$
となる．よって， $S_n\left(\theta\right)$ が最大となる $\theta$ の条件は，
$\cos{\left(\frac{\pi}{n}+2\theta\right)}=-1$
となるとき． $\frac{\pi}{n}<\frac{\pi}{n}+2\theta<\frac{\pi}{n}+\pi$ より，上式を満たすのは，
$\frac{\pi}{n}+2\theta=\pi\Leftrightarrow\theta=\frac{n-1}{2n}\pi$ のとき．……(答)
そのとき， $S_n\left(\theta\right)=\frac{n}{2}\sin{\left(\frac{2\pi}{n}\right)}$ ……(答)

2016年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究大問2

2019.09.20

方針の立て方 (1)空間座標系の問題になっているため，ベクトルで考える．次に文字を置くが，「求めるものを文字で置く」という数学の鉄則に従って線分の長さを文字でおいてはうまくいかない．なぜなら，座標の情報から長さの情報は引き出せるが，その逆(長さの情報から座標の情報を引き出すこと)は難しいからである．

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方針の立て方

(1)空間座標系の問題になっているため，ベクトルで考える．次に文字を置くが，「求めるものを文字で置く」という数学の鉄則に従って線分 $\mathrm{QR}$ の長さを文字でおいてはうまくいかない．なぜなら，座標の情報から長さの情報は引き出せるが，その逆(長さの情報から座標の情報を引き出すこと)は難しいからである．さらに今回の場合，(独立)変数は点 $\mathrm{R}$ のため，点 $\mathrm{R}$ の座標を文字で置くのが良いと判断する．

(2)前問の議論から線分 $\mathrm{QH}$ の長さ( $h$ )はすぐに分かるため， $h\geqq1$ という条件はすぐに書き下すことができる．後はこれを変形して $x$ を登場させればよい．

(3)前問と同様 $h$ の表式が分かっているため，これを変形していけばよい．

解答例

(1)
$\mathrm{R}\left(X,Y\right)$ とする． $r=\sqrt{X^2+Y^2}$ である．
線分 $\mathrm{PR}$ 上の点は， $\left(x,y,z\right)=\left(0,0,2\right)+k\left(X,Y,-2\right)=\left(kX,kY,2-2k\right)$ 　( $0\leqq k\leqq1$ )　と表せる．
点 $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{PR}$ と球面 $\mathrm{S}$ の交点であるから， $\left(kX,kY,2-2k\right)$ を球面 $\mathrm{S}$ の方程式： $x^2+y^2+\left(z-1\right)^2=1$ に代入して，
$\left(kX\right)^2+\left(kY\right)^2+\left(1-2k\right)^2=1\Leftrightarrow k\left\{\left(4+r^2\right)k-4\right\}=0$
$\therefore k=0,\frac{4}{4+r^2}$
$k=0$ は点 $\mathrm{P}$ を表す．よって，点 $\mathrm{Q}$ は $k=\frac{4}{4+r^2}$ のときで， $\mathrm{Q}\left(\frac{4}{4+r^2}X,\frac{4}{4+r^2}Y,\frac{2r^2}{4+r^2}\right)$ と分かる．
$\mathrm{QR}=\sqrt{\left(\frac{4}{4+r^2}X-X\right)^2+\left(\frac{4}{4+r^2}Y-Y\right)^2+\left(\frac{2r^2}{4+r^2}\right)^2}=\frac{r^2}{4+r^2}\sqrt{X^2+Y^2+4}=\frac{r^2}{4+r^2}\sqrt{r^2+4}=\frac{r^2}{\sqrt{4+r^2}}$ ……(答)

(2)
$h=\frac{2r^2}{4+r^2}$ である．
$h\geqq1$ である場合， $\frac{2r^2}{4+r^2}\geqq1$ ． $r\geqq0$ と合わせると $2\leqq r$ ．
$\therefore2\leqq\sqrt{x^2+y^2}$
ここで，点 $\mathrm{R}$ は $\mathrm{C}$ 上の点であることから， $y=x^2-2$ を満たすことを用いれば，
$\therefore4\leqq x^2+y^2\Leftrightarrow0\leqq y^2+y-2\Leftrightarrow0\leqq\left(y+2\right)\left(y-1\right)\Leftrightarrow y\leqq-2,1\leqq y\Leftrightarrow x^2-2\leqq-2,1\leqq x^2-2\bigm\Leftrightarrow x\leqq-\sqrt3,x=0,\sqrt3\leqq x$
よって， $x\leqq-\sqrt3,x=0,\sqrt3\leqq x$ ……(答)

(3)
$h=\frac{2r^2}{4+r^2}=2-\frac{8}{4+r^2}$
$4+r^2=4+X^2+Y^2=Y^2+Y+6=\left(Y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}\geqq\frac{23}{4}$
等号成立は $Y=-\frac{1}{2}$ のときであり，そのとき， $X=\pm\frac{\sqrt6}{2}$
よって，求める座標は，
$\mathrm{R}\left(\pm\frac{\sqrt6}{2},-\frac{1}{2},0\right)$ ……(答)

2016年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究大問1

2019.09.20

方針の立て方 (1) 基本問題であるため特筆事項なし． (2) 具体的にとなるときを考える．すると，が4以上でないといけないことが分かる．つまりは，の3通りを考えつくせばいいので，虱潰しに調べ上げればよいと考える． (3) 前問の議論(というより方針の立て方)を踏まえれば，が大きいと考える総数が少な

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方針の立て方

(1)
基本問題であるため特筆事項なし．

(2)
具体的に $Z=4$ となるときを考える．すると， $X$ が4以上でないといけないことが分かる．つまりは， $X=4,5,6$ の3通りを考えつくせばいいので，虱潰しに調べ上げればよいと考える．

(3)
前問の議論(というより方針の立て方)を踏まえれば， $Z$ が大きいと考える総数が少ないと分かる．つまり，正攻法で考えるのではなく，余事象を考えれば，調べ上げる総数が少なくなると考えられる．しかも $Z=4$ のときはそのまま前問の結果が使えるから，更に調べ上げる総数が減る．

解答例

(1) $\frac{5}{32}$
(2) $\frac{29}{384}$
(3) $\frac{173}{192}$

解説

(1)
どのタイミングで裏1回が出るかで5通り．
$5\times\left(\frac{1}{2}\right)^4\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{32}$ ……(答)

(2)
$X=4$ となり， $Z=4$ となる確率は， $\frac{1}{6}\times\left(\frac{1}{2}\right)^4$
$X=5$ となり， $Z=4$ となる確率は， $\frac{1}{6}\times\frac{5}{32}$ (前問の結果)
$X=6$ となり， $Z=4$ となる確率は， $\frac{1}{6}\times{{_6^}\mathrm{C}}_2\left(\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2$
よって，求める確率は，
$\frac{1}{6}\times\left(\frac{1}{2}\right)^4+\frac{1}{6}\times\frac{5}{32}+\frac{1}{6}\times{{_6^}\mathrm{C}}_2\left(\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{29}{384}$ ……(答)

(3)
余事象で考える．
◎ $Z=5$ となる確率
$X=5$ となり， $Z=5$ となる確率は， $\frac{1}{6}\times\left(\frac{1}{2}\right)^5$
$X=6$ となり， $Z=5$ となる確率は， $\frac{1}{6}\times6\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\frac{1}{2}$
$\therefore\frac{1}{6}\times\left(\frac{1}{2}\right)^5+\frac{1}{6}\times6\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{48}$
◎ $Z=6$ となる確率
$X=6$ となり， $Z=6$ となる確率は， $\frac{1}{6}\times\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{1}{384}$

前問の結果より， $Z=4$ となる確率は $\frac{29}{384}$ ．
よって， $4\leqq Z$ となる確率は，
$\frac{29}{384}+\frac{1}{48}+\frac{1}{384}=\frac{19}{192}$
よって， $Z\leqq3$ となる確率は，
$1-\frac{19}{192}=\frac{173}{192}$ ……(答)