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2017年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究 大問4

2019.09.22

方針の立て方 (1) 具体的に題意を満たす場合を考えれば解答が得られる. (2) 前問の解法を応用する.前問では,参加者の賞金額が0円,1円となるときを考え足し合わせたので,本問では,0円,1円,2円,……,円を考え総和を取ればよい.あとは,その確率が0.5以上となるときを解析すれば解答にたどりつく

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  • 方針の立て方
    (1)
    具体的に題意を満たす場合を考えれば解答が得られる.

    (2)
    前問の解法を応用する.前問では,参加者の賞金額が0円,1円となるときを考え足し合わせたので,本問では,0円,1円,2円,……,c円を考え総和を取ればよい.あとは,その確率が0.5以上となるときを解析すれば解答にたどりつく.

    (3)
    期待値の定義に従って期待値を求めていく.4\cdot{0.8}^{100}という具体的に数値を書き下すのは現実的に困難な値があるが,解答で求められているのが小数第1位までのため厳密な数値は必要ないと判断する.本解説ではその件を丁寧に論述したが,本番では途中経過は求められないため,直観的に{0.8}^{100}は殆ど無視できると考え,4.0と即答してもよいだろう.

    解答例
    (57)(58)(59)……0.36
    (60)(61)……03
    (62)(63)(64)……04.0

    解説
    コインで裏が出る確率は1-0.8=0.2
    (1)
    ・参加者の賞金額が0円となる確率
    1回目で裏が出れば必要十分……0.2
    ・参加者の賞金額が1円となる確率
    1回目で表を出し,2回目で裏が出れば必要十分……0.2\times0.8=0.16
    よって,求める確率は,
    0.2+0.16=0.36……(答)

    (2)
    求めるcは100ではない.よって,以下では0\leqq c\leqq99の範囲で考える.
    参加者の賞金額がn円(0\leqq n\leqq99)となる確率は,n回目まで表を出し,n+1回目で裏が出す確率と等しく,0.2\times{0.8}^n
    よって,賞金額がc円(0\leqq c\leqq99)以下となる確率は,
    \sum_{n=0}^{c}\left(0.2\times{0.8}^n\right)=\frac{0.2\left(1-{0.8}^{c+1}\right)}{1-0.8}=1-{0.8}^{c+1}
    これが0.5以上となるのは,1-{0.8}^{c+1}\geqq0.5\Leftrightarrow0.5\geqq{0.8}^{c+1}
    {0.8}^3=0.512,{0.8}^4=0.4096より,上記不等式を満たす最小のcは,c+1=4\Leftrightarrow c=3……(答)

    (3)
    参加者の賞金額が100円となる確率は100回表を出す確率と等しく{0.8}^{100}
    よって,期待値は,
    \sum_{n=0}^{99}{n\cdot\left(0.2\times{0.8}^n\right)}+100\cdot{0.8}^{100}=0.2\times\sum_{n=0}^{99}{n\cdot{0.8}^n}+100\cdot{0.8}^{100}
    ここで,
    \sum_{n=0}^{99}{n\cdot{0.8}^n}=1\cdot0.8+2\cdot{0.8}^2+3\cdot{0.8}^3+\cdots\cdots+99\cdot{0.8}^{99}
    0.8\times\sum_{n=0}^{99}{n\cdot{0.8}^n}=1\cdot{0.8}^2+2\cdot{0.8}^3+3\cdot{0.8}^4+\cdots\cdots+99\cdot{0.8}^{100}
    より,両辺を引き算すると,
    0.2\times\sum_{n=0}^{99}{n\cdot{0.8}^n}=\left(0.8+{0.8}^2+{0.8}^3+{0.8}^4+\cdots\cdots+{0.8}^{99}\right)-99\cdot{0.8}^{100}=\frac{0.8\left(1-{0.8}^{99}\right)}{1-0.8}-99\cdot{0.8}^{100}=4-104\cdot{0.8}^{100}
    よって,期待値は,
    4-104\cdot{0.8}^{100}+100\cdot{0.8}^{100}=4-4\cdot{0.8}^{100}
    となる.これの小数点第2位以下を四捨五入するために4\cdot{0.8}^{100}の値について考える.
    まず,{0.8}^4=0.4096<\frac{1}{2}より{0.8}^{100}<\left(\frac{1}{2}\right)^{25}
    さらに,\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}<\frac{1}{1000}={10}^{-3}より,{0.8}^{100}<\left(\frac{1}{2}\right)^{25}<\left(\frac{1}{2}\right)^{20}<{10}^{-6}となる.
    \therefore4-4\times{10}^{-6}<4-4\cdot{0.8}^{100}<4
    以上より,期待値の小数点第2位以下を四捨五入すると,4.0……(答)

2017年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究 大問3

2019.09.22

方針の立て方 の範囲((31)~(34))については,が図形的にどのような意味を持つのかを考えることで解法を得る.図形と方程式の問題では,数式を図形に,或いは図形を数式に直して考えることが重要である. 長方形の面積とその最大値((35)~(56))については典型的な問題であるため,特筆事項なし. 解

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  • 方針の立て方
    dの範囲((31)~(34))については,dが図形的にどのような意味を持つのかを考えることで解法を得る.図形と方程式の問題では,数式を図形に,或いは図形を数式に直して考えることが重要である.
    長方形\mathrm{ABCD}の面積とその最大値((35)~(56))については典型的な問題であるため,特筆事項なし.

    解答例
    (31)(32)(33)(34)……\frac{-1}{08}
    (35)(36)(37)……008
    (38)(39)(40)……-15
    (41)(42)(43)……006
    (44)(45)(46)……001
    (47)(48)(49)(50)……\frac{01}{04}
    (51)(52)……03
    (53)(54)……03
    (55)(56)……04

    解説
    dの範囲((31)~(34)について)
    dは線分\mathrm{BC}の切片に当たる.線分\mathrm{BC}の切片の下限は,直線\mathrm{BC}が放物線y=\frac{1}{2}x^2の接線となるとき.
    y=\frac{1}{2}x^2\Rightarrow y^\prime=xより,直線\mathrm{BC}が放物線y=\frac{1}{2}x^2の接線となるとき,接点は\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{8}\right)となる.このとき直線\mathrm{BC}の切片d_{inf}は,
    \frac{1}{8}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+d_{inf}\Leftrightarrow d_{inf}=-\frac{1}{8}
    \therefore-\frac{1}{8}<d<1……(答)

    〇長方形\mathrm{ABCD}の面積((35)~(46)について)
    y=\frac{1}{2}x+dy=\frac{1}{2}x^2の交点\mathrm{B}\mathrm{C}の座標は,\mathrm{B}\left(\frac{1-\sqrt{1+8d}}{2},\frac{1+4d-\sqrt{1+8d}}{4}\right)\mathrm{C}\left(\frac{1+\sqrt{1+8d}}{2},\frac{1+4d+\sqrt{1+8d}}{4}\right)
    \therefore\mathrm{BC}=\sqrt{\left(\frac{1+\sqrt{1+8d}}{2}-\frac{1-\sqrt{1+8d}}{2}\right)^2+\left(\frac{1+4d+\sqrt{1+8d}}{4}-\frac{1+4d-\sqrt{1+8d}}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{5\left(1+8d\right)}}{2}
    線分\mathrm{AB}の長さは,線分\mathrm{AB}が直線y=\frac{1}{2}x+1と直交することより,点\mathrm{B}と直線y=\frac{1}{2}x+1との距離に等しい.-\frac{1}{8}<d<1より,0<1-dであることに注意すると,
    \mathrm{AB}=\frac{\left|-\frac{1-\sqrt{1+8d}}{2}+2\cdot\frac{1+4d-\sqrt{1+8d}}{4}-2\right|}{\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2}}=\frac{2\left(1-d\right)}{\sqrt5}
    よって,求める面積は,
    \frac{\sqrt{5\left(1+8d\right)}}{2}\cdot\frac{2\left(1-d\right)}{\sqrt5}=\sqrt{8d^3-15d^2+6d+1}……(答)

    〇長方形\mathrm{ABCD}の面積の最大値((47)~(56)について)
    f\left(d\right)=8d^3-15d^2+6d+1とおくと,f^\prime\left(d\right)=24d^2-30d+6=6\left(4d-1\right)\left(d-1\right)となる.
    増減表を描くと,

    d -\frac{1}{8} \cdots \frac{1}{4} \cdots 1
    f^\prime\left(d\right) + + 0 - 0
    f\left(d\right) \nearrow \nearrow \frac{27}{16} \searrow \qquad

    よって,長方形\mathrm{ABCD}の面積はd=\frac{1}{4}のときに,最大値\sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt3}{4}となる.……(答)

2017年慶応義塾大学環境情報|過去問徹底研究 大問1

2019.09.22

方針の立て方 円が他の図形と接する場合には,中心と接点を結ぶと上手くいくことが多い.これは,中心と接点を結んだ線は接線と直交することによる. 甲円の直径は上記の方針で解ける. 上甲円の中心と直線との距離,および,丙円の直径については,長さ求める線分を実際に引いてみると題意をつかみやすい.線分を引くと

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  • 方針の立て方
    円が他の図形と接する場合には,中心と接点を結ぶと上手くいくことが多い.これは,中心と接点を結んだ線は接線と直交することによる.
    甲円の直径は上記の方針で解ける.
    上甲円の中心と直線との距離,および,丙円の直径については,長さ求める線分を実際に引いてみると題意をつかみやすい.線分を引くと下甲円の接線となるので,下甲円の中心とその接点を結んでみると解法を得られるだろう.
    また,図形の問題に限らず数学の問題では,同じものを2通りの形に表してそれらをイコールするという解法が多い(丙円の直径はまさしくこの解法)ので押さえておこう.

    解答例
    (1)(2)……04
    (3)(4)……02
    (5)(6)……05
    (7)(8)……16
    (9)(10)……07
    (11)(12)……05
    (13)(14)……11
    ※(3)~(14)の解答は,上下の甲円の中心を結んだ線分が,それらの甲円に内接している乙円の中心を通ると仮定した際の解答

    解説
    〇甲円の直径((1)と(2)について)

    求める甲円の直径をx寸とおく.
    上図で中心間距離(図中の破線)について,三平方の定理より,
    \frac{x}{2}+\frac{1}{2} = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right)^2}
    が成り立ち,x>0のもとで,これを解くと,x=4
    \therefore4寸……(答)

    〇上甲円の中心と直線との距離((3)~(6)について)

    上図より,2+\sqrt5寸離れている……(答)

    〇丙円の直径
    上甲円の最上部と直線との距離は,前問の結果を用いれば,\left(2+\sqrt5\right)+\frac{4}{2}=4+\sqrt5寸と分かる.
    求める丙円の直径をy寸とする.

    すると,左図より,上甲円の最上部と直線との距離は,
    \frac{y}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}y^2+2y}+2
    とも表せる.
    \therefore4+\sqrt5=\frac{y}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}y^2+2y}+2
    これを解くと,
    y=\frac{16+7\sqrt5}{11}寸……(答)

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