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2017年慶應大学理工|過去問徹底研究 大問2

2019.08.30

慶應大学理工|過去問徹底研究 2017年 大問2 方針の立て方 (1)特筆事項なし. (2) (シ)~(ス)について 面と垂線の問題である.面は2つの線形独立なベクトル(このようなベクトルを基底ベクトルという)の線形結合で表現される.つまり,「面と垂直」という条件を,「2つの基底ベクトルと垂直」とい

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    方針の立て方

    (1)特筆事項なし.

    (2)
    (シ)~(ス)について
    面と垂線の問題である.面は2つの線形独立なベクトル(このようなベクトルを基底ベクトルという)の線形結合で表現される.つまり,「面と垂直」という条件を,「2つの基底ベクトルと垂直」という条件に言い換えることができる.このことを利用しよう.なお,面と垂線の問題は難関大学では頻出の問題であるため,この問題ができなかった受験生は是非復習してほしい.(実はこの問題と類似の問題が2016年にも出題された)
    (セ)~(タ)について
    求めるものが\vec{\mathrm{AH}}であるため,始点をAに揃えて考えるという方針で解く.問題文でまだ使われていない情報である「線分DGの中点が点Oである」を使い,\vec{\mathrm{OD}}=-\vec{\mathrm{OG}}の等式を立てよう.
    (チ)について
    三角形のベクトル方程式を応用することで解ける.

    (3)
    前問で平面\alphaの垂線OPを考えたので,\triangleABCを底面と見て,線分DHを高さと見るという方針を思いつく.

    解答例
    (1)
    コ:3
    サ:r^2-9
    (2)
    シ:4
    ス:5
    セ:-\frac{1}{3}\left(9t+4\right)
    ソ:\frac{1}{3}\left(12t-1\right)
    タ:\frac{1}{3}\left(15t-1\right)
    チ:\frac{1}{3}
    (3)
    ツ:2\sqrt{r^2-5}

    解説

    (1)
    \triangleABCの面積 (コについて)
    \triangleABC=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{\mathrm{AB}}\right|^2\left|\vec{\mathrm{AC}}\right|^2-\left(\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{10\cdot4-4}=3……(答)
    \vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}(サについて)
    \triangleABCに対して余弦定理を用いると,
    \left|\vec{\mathrm{BC}}\right|^2=\left|\vec{\mathrm{AB}}\right|^2+\left|\vec{\mathrm{AC}}\right|^2-2\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}=18
    \triangle\mathrm{OAB}に対して余弦定理を用いると,
    \left|\vec{\mathrm{BC}}\right|^2=\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2+\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|^2-2\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=2r^2-2\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}
    \therefore2r^2-2\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=18\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=r^2-9……(答)

    (2)
    xyの値(シ,スについて)
    前問と同様に計算すると,
    \begin{cases} \vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=r^2-5 \\ \vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=r^2-2 \end{cases}
    が得られる.
    さて,直線OPは,平面\alphaに直交していることと,\left|\vec{\mathrm{OP}}\right|\neq0\left|\vec{\mathrm{AB}}\right|\neq0\left|\vec{\mathrm{AC}}\right|\neq0より,
    \begin{cases} \vec{\mathrm{OP}}\bot\vec{\mathrm{AB}} \\ \vec{\mathrm{OP}}\bot\vec{\mathrm{AC}} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=0 \\ \vec{\mathrm{AC}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=0 \end{cases}
    また,
    \vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=\left(\vec{\mathrm{OB}}-\vec{\mathrm{OA}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OP}}=3\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+x\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2-\left(3+x\right)\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+y\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}-y\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=5x-7y+15 \\ \vec{\mathrm{AC}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=\left(\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OA}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OP}}=3\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+y\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|^2-x\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+x\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}-\left(3+y\right)\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=-4x+2y+6
    であるから,
    \begin{cases} \vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=0 \\ \vec{\mathrm{AC}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 5x-7y+15=0 \\ -4x+2y+6=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=4 \\ y=5 \end{cases}……(答)

    \vec{\mathrm{AH}}(セ~タについて)
    \vec{\mathrm{OD}}=-\vec{\mathrm{OG}}=-\frac{1}{3}\left(\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}\right) \\ \therefore\vec{\mathrm{DH}}=\vec{\mathrm{AH}}-\vec{\mathrm{AD}}=\vec{\mathrm{AH}}-\vec{\mathrm{OD}}+\vec{\mathrm{OA}}=\vec{\mathrm{AH}}+\frac{1}{3}\left(4\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}\right)\Leftrightarrow\vec{\mathrm{AH}}=\vec{\mathrm{DH}}-\frac{1}{3}\left(4\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}\right)
    ここで,前問の結果から,
    \vec{\mathrm{OP}}=-3\vec{\mathrm{OA}}+4\vec{\mathrm{OB}}+5\vec{\mathrm{OC}}
    であるから,
    \vec{\mathrm{AH}}=t\vec{\mathrm{OP}}-\frac{1}{3}\left(4\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}\right)\bigm=t\left(-3\vec{\mathrm{OA}}+4\vec{\mathrm{OB}}+5\vec{\mathrm{OC}}\right)-\frac{1}{3}\left(4\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}\right)\bigm=-\frac{1}{3}\left(9t+4\right)\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1}{3}\left(12t-1\right)\vec{\mathrm{OB}}+\frac{1}{3}\left(15t-1\right)\vec{\mathrm{OC}}……(答)

    tの値(チについて)
    前問の結果を使えば,
    \vec{\mathrm{AH}}=\vec{\mathrm{OH}}-\vec{\mathrm{OA}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OH}}=\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{AH}}=-\frac{1}{3}\left(9t+1\right)\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1}{3}\left(12t-1\right)\vec{\mathrm{OB}}+\frac{1}{3}\left(15t-1\right)\vec{\mathrm{OC}}
    点Hが平面\alpha上にあるとき,\vec{\mathrm{OA}}\vec{\mathrm{OB}}\vec{\mathrm{OC}}の係数の和が1となるので,
    \frac{1}{3}\left(9t+1\right)+\frac{1}{3}\left(12t-1\right)+\frac{1}{3}\left(15t-1\right)=1\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}……(答)

    (3)
    点Dから平面\alphaに下した垂線の長さは,前問の結果より,\left|\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OP}}\right|と等しい.
    \left|\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OP}}\right|=\frac{1}{3}\sqrt{\vec{\mathrm{OP}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}}=\frac{1}{3}\sqrt{\left(-3\vec{\mathrm{OA}}+4\vec{\mathrm{OB}}+5\vec{\mathrm{OC}}\right)\cdot\left(-3\vec{\mathrm{OA}}+4\vec{\mathrm{OB}}+5\vec{\mathrm{OC}}\right)}=2\sqrt{r^2-5}
    よって,求める体積は,これまでの結果をあわせると,
    \frac{1}{3}\cdot\triangle\mathrm{ABC}\cdot\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OP}}=13\cdot3\cdot2\sqrt{r^2-5}=2\sqrt{r^2-5}……(答)

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2018年慶應大学理工|過去問徹底研究 大問1

2019.08.30

慶應義塾大学過去問徹底研究 2018年 大問1 方針の立て方 (1) 頻出問題のため特筆事項なし.(を使うにはが必要だから,方程式全体をの何乗かで割るということに気付くこともできる.) (2) 与えられた条件式が対称式であるため,とで表せると考え,変形する.また,とに課せられた条件は,のみではなく「

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    方針の立て方

    (1)
    頻出問題のため特筆事項なし.(yを使うには\frac{1}{x}が必要だから,方程式全体をxの何乗かで割るということに気付くこともできる.)

    (2)
    与えられた条件式が対称式であるため,x+yxyで表せると考え,変形する.また,xyに課せられた条件は,x^3+y^3+xy-3=0のみではなく「実数である」ことにも注意.この問題も頻出問題である.

    (3)
    \left(x-1\right)\left(x^{3n}-1\right)\left(x^3-1\right)\left(x^n-1\right)もまだ因数分解できるため,一先ず因数分解をし切って,共通因数を除外して考える.「割ること」を考えているため,和→積の変形である因数分解をなるべくしておくと良いことには気付きたい.そうすると,\left(x-\frac{-1+\sqrt3i}{2}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt3i}{2}\right)で割り切れることを示せれば十分と分かるため,因数定理に持ち込む方針が得られる.更に複素数のn乗の計算を求められるため,ド・モアブルの定理を使うことも見抜きたい.

    解答例
    (1)
    ア:y^2-2y+1
    イ:\frac{1\pm\sqrt3i}{2}
    (2)
    ウ:\frac{s^3-3}{3s-1}
    エ:\frac{1}{3}\leqq s\leqq2
    (3)
    n=3k+1 \left(k=0,1,2,\cdots\cdots\right)と書ける.
    \left(x-1\right)\left(x^{3n}-1\right)=\left(x-1\right)\left(x^n-1\right)\left(x^{2n}+x^n+1\right)
    \left(x^3-1\right)\left(x^n-1\right)=\left(x-1\right)\left(x^n-1\right)\left(x^2+x+1\right)=\left(x-1\right)\left(x^n-1\right)\left(x-\frac{-1+\sqrt3i}{2}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt3i}{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x^n-1\right)\left\{x-\left(\cos{\frac{2}{3}\pi}+i\sin{\frac{2}{3}\pi}\right)\right\}\left\{x-\left(\cos{\left(-\frac{2}{3}\pi\right)}+i\sin{\left(-\frac{2}{3}\pi\right)}\right)\right\}
    より,x=\cos{\frac{2}{3}\pi}+i\sin{\frac{2}{3}\pi},\cos{\left(-\frac{2}{3}\pi\right)}+i\sin{\left(-\frac{2}{3}\pi\right)}のとき,x^{2n}+x^n+1=0となれば,因数定理よりx^{2n}+x^n+1\left\{x-\left(\cos{\frac{2}{3}\pi}+i\sin{\frac{2}{3}\pi}\right)\right\}\left\{x-\left(\cos{\left(-\frac{2}{3}\pi\right)}+i\sin{\left(-\frac{2}{3}\pi\right)}\right)\right\}の両方を因数に持つことになり,x^2+x+1で割り切れることが示せる.
    x^{2n}+x^n+1=x^{2\left(3k+1\right)}+x^{3k+1}+1=x^{6k+2}+x^{3k+1}+1
    であり,x=\cos{\left(\pm\frac{2}{3}\pi\right)}+i\sin{\left(\pm\frac{2}{3}\pi\right)}を代入すると,ド・モアブルの定理より,
    x^{6k+2}+x^{3k+1}+1=\cos{\left(\pm\frac{2\left(6k+2\right)}{3}\pi\right)}+i\sin{\left(\pm\frac{2\left(6k+2\right)}{3}\pi\right)}+\cos{\left(\pm\frac{2\left(3k+1\right)}{3}\pi\right)}+i\sin{\left(\pm\frac{2\left(3k+1\right)}{3}\pi\right)}+1\bigm=\cos{\left(\pm4k\pi\pm\frac{4}{3}\pi\right)}+i\sin{\left(\pm4k\pi\pm\frac{4}{3}\pi\right)}+\cos{\left(\pm2k\pi\pm\frac{2}{3}\pi\right)}+i\sin{\left(\pm2k\pi\pm\frac{2}{3}\pi\right)}+1\bigm=\cos{\left(\pm\frac{4}{3}\pi\right)}+i\sin{\left(\pm\frac{4}{3}\pi\right)}+\cos{\left(\pm\frac{2}{3}\pi\right)}+i\sin{\left(\pm\frac{2}{3}\pi\right)}+1\bigm=-\frac{1}{2}\mp\frac{\sqrt3}{2}i-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt3}{2}i+1=0
    となり,題意が示せた. 証明終了.

    解説

    (1)
    yの満たす2次方程式(アについて)
    x=0は解とならない.よって,方程式の両辺をx^2で割ることができ,
    x^2-2x+3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\left(x+\frac{1}{x}\right)+1=0
    よって,求める2次方程式は,
    y^2-2y+1=0……(答)
    〇方程式の解(イについて)
    y^2-2y+1=0を解くとy=1
    \therefore x+\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x^2-x+1=0 \left(x\neq0\right)
    これを解くと,
    x=\frac{1\pm\sqrt3i}{2}……(答)

    (2)
    tの式(ウについて)
    x^3+y^3+xy-3=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+xy-3=0
    \therefore s^3-3st+t-3=0
    ここで,s=\frac{1}{3}は上式を満たさないため,s\neq\frac{1}{3}\Leftrightarrow3s-1\neq0.この下で上式をtについて解くと,
    t=\frac{s^3-3}{3s-1}……(答)
    sのとりうる値の範囲(エについて)
    s=x+y,t=xyより,x,yは次の\alphaについての2次方程式の2解である.
    \alpha^2-s\alpha+t=0
    x,yが実数であるには,この2次方程式の判別式が0以上であれば必要十分である.
    \therefore s^2-4t\geqq0
    t=\frac{s^3-3}{3s-1}より,
    s^2-4t=s^2-4\cdot\frac{s^3-3}{3s-1}=\frac{\left(s-2\right)\left\{\left(s+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{15}{4}\right\}}{1-3s}
    \left(s+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0より,求める条件は,
    \frac{s-2}{1-3s}\geqq0\Leftrightarrow\left(s-2\right)\left(1-3s\right)\geqq0\Leftrightarrow\frac{1}{3}\leqq s\leqq2……(答)

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2017年慶應大学理工|過去問徹底研究 大問4

2019.08.30

2017年慶應大学理工|過去問徹底研究 大問4 方針の立て方 (1)操作回数は高々2回のため,実際に書き出す方が早いと判断する. (2) (ヌ)については,特筆事項なし. (ネ)については,具体的に満たすものをいくつか書き下してみることで,1と2と3のみを出す必要があることが分かる.ただし,3を必ず

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    方針の立て方

    (1)操作回数は高々2回のため,実際に書き出す方が早いと判断する.

    (2)
    (ヌ)については,特筆事項なし.
    (ネ)については,具体的に満たすものをいくつか書き下してみることで,1と2と3のみを出す必要があることが分かる.ただし,3を必ず出さねばならないという前提を忘れないように気を付けること.「最大値がnになる」のような問題ではこの解法は頻出かつ最速の解法なので押さえておくこと.

    (3)
    (ノ)については,「記録される数字が2種類で,かつ片方は1」という厳しい条件が課せられていることから,残りの1種類を虱潰しに考えつくせばよいと方針を立てる.
    (ハ)については,素直に条件付き確率p_nを計算することを試す.普通に計算できるため,後は極限の計算に持ち込めばよい.厳密な議論をすると長くなるが,本学部は穴埋め式答案のため,定性的な解法で答えを求めることで得点を稼ぎたい.
    (4)
    問題文の条件を満たすために,「k回目に(1≦kn-1)の操作で初めて1が記録され,m回目(k+1mn)の操作で初めて4が記録される」という状況をまず考える.その後でとの取りうる値で総和を取れば良い.満たすものを「…」などを使って文字に書き起こしてみるとこの解法やとの取りうる値の範囲を特定できる.

    解答例
    (1)
    ニ:\frac{19}{100}
    (2)
    ヌ:\frac{36}{625}
    ネ:\frac{243}{2000}
    (3)
    ノ:\frac{5^n-2^n-3}{{10}^n}
    ハ:\frac{5}{7}
    (4)
    ヒ:\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{3}{5}\right)^n

    解説
    カードは全て区別する.
    (1)
    \left(1,1\right)\left(1,2\right)\left(1,3\right)\left(1,4\right)とこれらの中身を入れ替えた7組の取り出し方が題意を満たす.
    \therefore\frac{1\cdot1\cdot1+2\cdot1\cdot2+2\cdot1\cdot3+2\cdot1\cdot4}{{10}^2}=\frac{19}{100}……(答)

    (2)
    〇ヌについて
    1,2,3,4のカードをそれぞれ1回ずつ引けば必要十分.
    どの順番で取り出すかで4!通り.
    \therefore\frac{4!\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4}{{10}^4}=\frac{36}{625}……(答)
    〇ネについて
    1,2,3のカードを4回引き続ける必要がある.ただし,3のカードが出ない場合(1と2のカードしか出ない場合)は不適である.よって,求める確率は,
    \left(\frac{6}{10}\right)^4-\left(\frac{3}{10}\right)^4=\frac{243}{2000}……(答)

    (別解)
    4回の操作の内,3のカードを何回取り出すかで場合分けする.
    (ⅰ)3のカードを4回取り出す場合
    3のカードのみを取り出し続ければいい.
    \therefore\frac{3^4}{{10}^4}=\frac{81}{10000}
    (ⅱ)3のカードを3回取り出す場合
    3以外のカードを何回目の操作で取り出すかで4通り.
    3以外のカードは2か1のカードでなければならない.
    \therefore\frac{4\times\left\{\left(2+1\right)\cdot3^3\right\}}{{10}^4}=\frac{324}{10000}
    (ⅲ)3のカードを2回取り出す場合
    3以外のカードを何回目の操作で取り出すかで4C2通り.
    \therefore\frac{{_4^}\mathrm{C}_2\times\left\{\left(2+1\right)^23^2\right\}}{{10}^4}=\frac{486}{10000}
    (ⅳ)3のカードを1回取り出す場合
    3のカードを何回目の操作で取り出すかで4通り.
    \therefore\frac{4\times\left\{\left(2+1\right)^3\cdot3\right\}}{{10}^4}=\frac{324}{10000}
    以上(ⅰ)~(ⅳ)より,求める確率は,
    \frac{81+324+486+324}{10000}=\frac{243}{2000}……(答)

    (3)
    〇ノについて
    1のカード以外のカードの数字について場合分けする.
    (Ⅰ)もう1種類の数字が2の場合
    1か2のカードのみを出し続ければ必要十分.ただし,1のみをn回,または2のみをn回出すのは除外することに注意.
    \therefore\frac{3^n-1^n-2^n}{{10}^n}
    以下同様に,
    (Ⅱ)もう1種類の数字が3の場合
    \frac{4^n-1^n-3^n}{{10}^n}
    (Ⅲ)もう1種類の数字が4の場合
    \frac{5^n-1^n-4^n}{{10}^n}
    以上(Ⅰ)~(Ⅲ)より,求める確率は,
    \frac{3^n-1^n-2^n}{{10}^n}+\frac{4^n-1^n-3^n}{{10}^n}+\frac{5^n-1^n-4^n}{{10}^n}=\frac{5^n-2^n-3}{{10}^n}……(答)
    (別解)
    少し遠回りになってしまいますが,以下のような別解も有効です.
    (Ⅰ)もう1種類の数字が2の場合
    1のカードをk回(1\leqq k\leqq n-1)取り出すとき,n回の内,どのk回で1のカードを取り出すかで,{_n^}\mathrm{C}_k通りあるため,1のカードをk回取り出す確率は,
    \frac{{_n^}\mathrm{C}_k\cdot1^k\cdot2^{n-k}}{{10}^n}
    である.これを1\leqq k\leqq n-1まで足し合わせれば,1と2のカードのみを出す確率となる.
    \therefore\sum_{k=1}^{n-1}\frac{{_n^}\mathrm{C}_k\cdot1^k\cdot2^{n-k}}{{10}^n}=\frac{1}{{10}^n}\left\{\sum_{k=0}^{n}\left({_n^}\mathrm{C}_k\cdot1^k\cdot2^{n-k}\right)-2^n-1\right\}=\frac{\left(1+2\right)^n-2^n-1}{{10}^n} (\because二項定理) =\frac{3^n-2^n-1}{{10}^n}
    (ⅱ)と(ⅲ)も同様に計算することができます.
    〇ハについて
    2種類の数字が何であるかについて場合分けする.前問の(Ⅰ)~(Ⅲ)に加えて,
    (Ⅳ)2と3の場合
    \frac{5^n-2^n-3^n}{{10}^n}
    (Ⅴ)2と4の場合
    \frac{6^n-2^n-4^n}{{10}^n}
    (Ⅵ)3と4の場合
    \frac{7^n-3^n-4^n}{{10}^n}
    よって,操作をn回行った時点で,記録されている数が2種類である確率は,
    \frac{5^n-2^n-3}{{10}^n}+\frac{5^n-2^n-3^n}{{10}^n}+\frac{6^n-2^n-4^n}{{10}^n}+\frac{7^n-3^n-4^n}{{10}^n}=\frac{7^n+6^n+2\cdot5^n-2\cdot4^n-2\cdot3^n-3\cdot2^n-3}{{10}^n}
    \therefore p_n=\frac{\frac{5^n-2^n-3}{{10}^n}}{\frac{7^n+6^n+2\cdot5^n-2\cdot4^n-2\cdot3^n-3\cdot2^n-3}{{10}^n}}=\frac{5^n-2^n-3}{7^n+6^n+2\cdot5^n-2\cdot4^n-2\cdot3^n-3\cdot2^n-3}
    ここで,nが十分に大きいとき,分母は7^nが支配的となり,分子は5^nが支配的となるため(厳密な議論は補足を参照),
    \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(p_n\right)^\frac{1}{n}}=\frac{5}{7}……(答)
    (補足)
    〇まず,nが十分大きいとき,p_n\leqq\left(\frac{5}{7}\right)^nが成り立つことを示す.
    そのために,6^n+2\cdot5^n-2\cdot4^n-2\cdot3^n-3\cdot2^n-3>0を示す.
    6^n+2\cdot5^n-2\cdot4^n-2\cdot3^n-3\cdot2^n-3\geqq2^n\cdot3^n-2^n-2^{2n+1}-3\bigm=2^n\left(3^n-2^{n+1}-1\right)-3
    ここで,3^n-2^{n+1}-1\geqq1を示す.
    3^n-2^{n+1}-1\geqq1\Leftrightarrow1\geqq\frac{2}{3^n}+2\left(\frac{2}{3}\right)^n
    であるが,右の不等式はnが十分に大きいときには成立する.
    \therefore6^n+2\cdot5^n-2\cdot4^n-2\cdot3^n-3\cdot2^n-3\geqq2^n\left(3^n-2^{n+1}-1\right)-3\bigm\geqq2^n-3
    nが十分に大きいとき,2^n-3\geqq0となるから,
    6^n+2\cdot5^n-2\cdot4^n-2\cdot3^n-3\cdot2^n-3\geqq0
    が示せる.
    \therefore7^n+6^n+2\cdot5^n-2\cdot4^n-2\cdot3^n-3\cdot2^n-3\geqq7^n
    ところで,
    5^n-2^n-3\leqq5^n
    である.
    以上より,nが十分に大きいとき,
    p_n=\frac{5^n-2^n-3}{7^n+6^n+2\cdot5^n-2\cdot4^n-2\cdot3^n-3\cdot2^n-3}\leqq\frac{5^n}{7^n}=\left(\frac{5}{7}\right)^n
    〇次に,nが十分大きいとき,\frac{1}{24}\left(\frac{5}{7}\right)^n\leqq p_nが成り立つことを示す.
    7^n+6^n+2\cdot5^n-2\cdot4^n-2\cdot3^n-3\cdot2^n-3\leqq7^n+6^n+2\cdot5^n+2\cdot4^n+2\cdot3^n+3\cdot2^n+3\bigm\leqq7^n+7^n+2\cdot7^n+2\cdot7^n+2\cdot7^n+3\cdot7^n+7^n\bigm=12\cdot7^n
    次に,5^n-2^n-3\geqq\frac{5^n}{2}を示す.
    5^n-2^n-3\geqq\frac{5^n}{2}\Leftrightarrow5^n\geqq2^{n+1}+6\Leftrightarrow1\geqq2\left(\frac{2}{5}\right)^n+\frac{6}{5^n}
    であるが,最も右の不等式はnが十分に大きいときには成立する.
    以上より,nが十分に大きいとき,
    p_n=\frac{5^n-2^n-3}{7^n+6^n+2\cdot5^n-2\cdot4^n-2\cdot3^n-3\cdot2^n-3}\geqq\frac{\frac{5^n}{2}}{12\cdot7^n}=\frac{1}{24}\left(\frac{5}{7}\right)^n
    結局,nが十分に大きいとき,
    \frac{1}{24}\left(\frac{5}{7}\right)^n\leqq p_n\leqq\left(\frac{5}{7}\right)^n
    が成り立つといえる.
    \therefore\left(\frac{1}{24}\right)^\frac{1}{n}\cdot\frac{5}{7}\leqq\left(p_n\right)^\frac{1}{n}\leqq\frac{5}{7}
    ここで,
    \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{24}\right)^\frac{1}{n}\cdot\frac{5}{7}}=\frac{5}{7}
    より,はさみうちの原理から,
    \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(p_n\right)^\frac{1}{n}}=\frac{5}{7}……(答)

    (4)
    k回目\left(1\leqq k\leqq n-1\right)の操作で初めて1が記録され,m回目\left(k+1\leqq m\leqq n\right)の操作で初めて4が記録されるとする.この場合の確率は,
    \left(\frac{5}{10}\right)^{k-1}\cdot\frac{1}{10}\cdot\left(\frac{6}{10}\right)^{m-\left(k-1\right)}\cdot\frac{4}{10}=\frac{1}{25}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{m-\left(k-1\right)}
    よって,求める確率は,
    \sum_{k=1}^{n-1}\sum_{m=k+1}^{n}{\frac{1}{25}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{m-\left(k-1\right)}}=\sum_{k=1}^{n-1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\cdot\frac{\frac{1}{25}\left\{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n-k}\right\}}{1-\frac{3}{5}}}=\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\left\{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n-k}\right\}}\bigm=\sum_{k=1}^{n-1}\left\{\frac{1}{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}-\frac{1}{5}\left(\frac{3}{5}\right)^n\left(\frac{5}{6}\right)^k\right\}=\frac{\frac{1}{10}\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^n\cdot\frac{\frac{5}{6}\left\{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\right\}}{1-\frac{5}{6}}=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{3}{5}\right)^n……(答)

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2017年慶應大学理工|過去問徹底研究 大問1

2019.08.30

慶應義塾大学過去問徹底研究 2017年 大問1 方針の立て方 (1) (ア)について. 三角関数の括弧内が不揃いなことを考えると,展開することがよいと分かる. (イ)~(エ)について. の項を作り出さねばならないことを考えると,方針が立てられる.三角関数は相互関係でつながっているため,sinになって

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    方針の立て方

    (1)
    (ア)について.
    三角関数の括弧内が不揃いなことを考えると,展開することがよいと分かる.
    (イ)~(エ)について.
    \alpha-\frac{\pi}{6}の項を作り出さねばならないことを考えると,方針が立てられる.三角関数は相互関係でつながっているため,sinになっていてほしい部分がcosになっていたり,或いはその逆だったとしても焦らずに相互関係の式を用いるようにしよう.

    (2)
    (オ)については特筆事項なし.
    (カ)~(ク)について.
    z\in Mとなる条件を丁寧に確かめる.z\in Mとなる条件はかなり厳しい条件であるため,整数a,bの領域を求めた後は,しらみつぶし的に調べていけば,全ての問題があっという間に解ける.

    (3)
    f\left(f^{-1}\left(t\right)\right)=tという関係式はおさえておきたい(というより,これは逆関数の定義を表している).後は積分方程式の解法を取れば良い.

    解答例
    (1)
    ア:y=\frac{1}{2}x
    イ:\frac{1}{4-4\beta^2}
    ウ:\frac{\beta}{1-\beta^2}
    エ:\frac{1}{1-\beta^2}
    (2)
    オ:a^2+b^2
    カ:5
    キ:8
    ク:2+i
    (3)
    ケ:-2xe^{-2x^2}

    解説

    (1)
    〇アについて
    加法定理を用いれば,
    x=\sqrt3\cos{\omega t}-\sin{\omega t},\ y=-\frac{1}{2}\sin{\omega t}+\frac{\sqrt3}{2}\cos{\omega t}
    であるから,
    y=\frac{1}{2}x……(答)

    〇イ~エについて
    y=\sin{\left\{\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)+\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)\right\}}=\sin{\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)}\cos{\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}+\cos{\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)}\sin{\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}
    -\frac{\pi}{3}<\alpha<\frac{2}{3}\piのとき,\cos{\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}>0であるから,
    \cos{\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}=\sqrt{1-\beta^2}
    であり,これを用いると,
    y=\sqrt{1-\beta^2}\sin{\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)}+\frac{x\beta}{2}\Leftrightarrow y-\frac{x\beta}{2}=\sqrt{1-\beta^2}\sin{\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)}
    \therefore\left(y-\frac{x\beta}{2}\right)^2=\left(1-\beta^2\right){\mathrm{sin}}^2\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)=\left(1-\beta^2\right)\left\{1-{\mathrm{cos}}^2\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)\right\}=\left(1-\beta^2\right)\left(1-\frac{x^2}{4}\right)
    最左辺と最右辺の等式を変形すると,
    \frac{1}{4-4\beta^2}x^2-\frac{\beta}{1-\beta}xy+\frac{1}{1-\beta^2}y^2=1……(答)

    (2)
    \left|z\right|^2(オについて)
    \left|z\right|^2=z\bar{z}=\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=a^2+b^2……(答)

    〇カ~クについて
    \frac{5}{z}=\frac{5\bar{z}}{\left|z\right|^2}=\frac{5a}{a^2+b^2}+\frac{5b}{a^2+b^2}i
    以下では,0\leqq a,0\leqq bの範囲で考える.
    \frac{5}{z}\in Lであるためには,

    が必要.これを図示すると,

    上図斜線部.ただし,境界は原点を除いて全て含む.
    上図より,\left(1,1\right)\left(2,1\right)\left(1,2\right)\left(2,2\right)のみを考えれば十分.
    上の4点の内,z\in Mとなるのは,\left(2,1\right)\left(1,2\right)のときで,そのとき,
    \left|z\right|^2=5……(答)
    また,n\left(M\right)は,他の象限でも同様に考えると,
    \left(\pm2,\pm1\right)\left(\pm1,\pm2\right) (複号任意)の8点で,z\in Mとなることが分かる.
    \therefore n\left(M\right)=8……(答)
    また,実部が最も大きくかつ虚部が正となるのは,\left(2,1\right)のとき.
    \therefore z=2+i……(答)

    (3)
    f\left(g\left(t\right)\right)=f\left(f^{-1}\left(t\right)\right)=t\Leftrightarrow\int_{0}^{g\left(t\right)}e^{y^2}dy=t
    が成立する.両辺をtで微分すると,
    g^\prime\left(t\right)\cdot e^{\left\{g\left(t\right)\right\}^2}=1\Leftrightarrow g^\prime\left(t\right)=e^{-\left\{g\left(t\right)\right\}^2}
    となり,さらに両辺をtで微分すると,
    g^{\prime\prime}\left(t\right)=e^{-\left\{g\left(t\right)\right\}^2}\cdot\left\{-2g\left(t\right)\right\}\cdot g^\prime\left(t\right)=-2g\left(t\right)\cdot e^{-2\left\{g\left(t\right)\right\}^2}
    最右辺がG\left(g\left(t\right)\right)と等しくなるため,
    G\left(x\right)=-2xe^{-2x^2}……(答)

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2019年度入試|早稲田大学理工 過去問徹底研究 大問2

2019.06.25

大問2 (1) この問題のポイントは、「正角形はその外接円の中心を頂点として、個の合同な三角形に分割して考える」ことです。そのような三角形に分割して考える理由は、以下の2点です。 ・四角形、五角形、…よりも三角形のほうが簡単に扱える(計算できる)。 ・その三角形は明らかに二等辺三角形で、辺同士の関係

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  • 大問2

    (1) この問題のポイントは、「正n角形はその外接円の中心を頂点として、n個の合同な三角形に分割して考える」ことです。そのような三角形に分割して考える理由は、以下の2点です。

    ・四角形、五角形、…よりも三角形のほうが簡単に扱える(計算できる)。

    ・その三角形は明らかに二等辺三角形で、辺同士の関係、面積が簡単に分かる。

    私たちは、三角形や、綺麗な四角形(長方形など)の面積の公式を知っていても、一般の五角形や六角形の面積の公式を学習する機会はありません。では必要に迫られて五角形や六角形の面積、あるいはn角形の図形の面積を導出しなければならないとき、どうすればよいでしょうか。いくつかの三角形に分割すれば、私たちが知っている三角形の面積の公式を使って求めることができます。このように、三角形は、他のどんな多角形よりも扱いやすいのです。よって1点目の考え方があります。

    また、2点目については、そのように分割することで頂角の大きさが\displaystyle\frac{2\pi}{n}の2等辺三角形がn個できることは明らかです。また、頂角の向かいの辺の長さはL_nを使うと、\displaystyle\frac{L_n}{n}と表せます。また、余弦定理や三角比を使うことにより、残りの辺の長さをr_nとおけば、頂角の大きさとr_n\displaystyle\frac{L_n}{n}を表せます。面積についても同様です。

    (2) 基本的な極限の計算です。(1)で2倍角/半角の公式を使うことにより、最終的な答えを簡単にしておいたほうが計算しやすいです。

    (3)解答例では、\displaystyle\frac{\pi}{n}xに置きかえることにより、(L_n)^2xの関数とみなして大小関係を比べました。この方法は、左辺から右辺(右辺から左辺)を引いて正か負か判別しにくいときに有効です。今回の場合、関数に置き換えることで、「微分」できるようになりました。微分することにより、考えている関数の変化の様子、特に増減の様子が分かるのでこの方針と問題の相性は抜群です。

    解答例

    (1) 図のような、正n角形の外接円の半径をr_nとし、

    隣り合う2つの頂点と外接円の中心を結んだ二等辺三角形を考える。その三角形の底辺の長さが\displaystyle\frac{L_n}{n}、残りの2辺の長さがr_n、頂角の大きさが\displaystyle\frac{2\pi}{n}であることは明らかである。

    そこで、頂角の2等分線を引くと、図のように互いに合同な直角三角形に分割できる。

    その合同な三角形の辺の関係を考えれば、\displaystyle\frac{L_n}{2n}=r_n\sin{\frac{\pi}{n}}が成立する。

    また、その三角形の面積を考えることにより、\displaystyle\frac{1}{2}r_n^2\sin{\frac{\pi}{n}}\cos{\frac{\pi}{n}}=\frac{1}{2n}が成立する。

    これを、r_nを消去できるように変形すると、\displaystyle\left(r_n\sin{\frac{\pi}{n}}\right)^2\frac{\cos{\frac{\pi}{n}}}{\sin{\frac{\pi}{n}}}=\frac{1}{n}により、\displaystyle\left(\frac{L_n}{2n}\right)^2\frac{1}{\tan{\frac{\pi}{n}}}=\frac{1}{n}である。

    よって、\displaystyle (L_n)^2=4n\tan{\frac{\pi}{n}}

    (2) \displaystyle (L_n)^2=4n\tan{\frac{\pi}{n}}=4\cos{\left(\frac{\pi}{n}\right)}\frac{n}{\sin{\frac{\pi}{n}}}=4\cos{\frac{\pi}{n}}\frac{\pi}{\frac{\sin{\frac{\pi}{n}}}{\frac{\pi}{n}}}であり、

    \displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos{\frac{\pi}{n}}=1\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sin{\frac{\pi}{n}}}{\frac{\pi}{n}}=1より、

    \displaystyle\lim_{n\to\infty}(L_n)^2=4\pi

    L_n>0なので、

    \displaystyle\lim_{n\to\infty}L_n=\lim_{n\to\infty}\sqrt{(L_n)^2}=\sqrt{4\pi}=2\sqrt{\pi}

    (3) 関数\displaystyle f(x)=\frac{4\pi}{x}\tan{x}\ \ (x>0)を考える。

    \displaystyle f'(x)=4\pi\frac{\frac{x}{\cos^2{x}}-\tan{x}}{x^2}=4\pi\frac{x-\cos{x}\sin{x}}{x^2\cos^2{x}}=4\pi\frac{2x-\sin{2x}}{2x^2\cos^2{x}}

    さらに、分子について、g(x)=2x-\sin{2x}とおくと、g'(x)=2-2\cos{2x}=2(1-\cos{2x})\geqq0で、単調増加することがわかる。g(0)=0より、xが正のとき、g(x)>0

    また、xが正のとき、2x^2\cos^2{x}>0なので、f'(x)>0であることがわかる。

    n<kのとき、\displaystyle\frac{\pi}{n}>\frac{\pi}{k}である。

    f(x)xが正のとき、単調増加するから、

    \displaystyle(L_n)^2=f\left(\frac{\pi}{n}\right)>f\left(\frac{\pi}{k}\right)=(L_k)^2

    すなわち、(L_n)^2>(L_k)^2が従う。

    解説

    (1) 方針に従って計算しました。次の(2)が極限の問題なので、それを見据えて2倍角/半角の公式を使い、極限を求めやすい式にしています。

    (2) 公式\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1を、\displaystyle x=\frac{\pi}{n}と置き換えて使いました。

    (3) 方針に従って計算しました。nをそのままxと置き換えても良いですが、\displaystyle\frac{\pi}{n}xと置き換えたほうが簡単に微分できます。

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2019年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問1

2019.06.25

方針の立て方 「集合と命題」の基本問題です。「がすべて素数である」ことの否定は、「のうち、素数でないものが(一つ以上)存在する」ことなので、のとき、の中から素数でないものを見つければよいです。が、なんとなく5の倍数になるような雰囲気を出しています。 (2) をにそれぞれ代入してみると、いずれも5の倍

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  • 方針の立て方

    1. 「集合と命題」の基本問題です。「n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5がすべて素数である」ことの否定は、「n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5のうち、素数でないものが(一つ以上)存在する」ことなので、n=5kのとき、n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5の中から素数でないものを見つければよいです。6n^2+5が、なんとなく5の倍数になるような雰囲気を出しています。

    (2) n=3, 4, 5, 6, \cdotsn^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5にそれぞれ代入してみると、いずれも5の倍数になることがわかります。(このような整数問題では、小さな値を用いて具体的に計算してみることが鉄則です。)そこで、n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5のどれかが5の倍数になることを言えれば良さそうです。5の倍数であることを言うときに問題となるのは、その数が5で割ったときの余りが0になるかどうかですから、n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+55で割った余りに着目します。これは、n=5k, n=5k\pm1, n=5k\pm2を代入すれば分かるので、答案ではそのようにします。

    解答例

    1. 6n^2+55kを代入すると、6n^2+5=6(5k)^2+5=5(30k^2+1)で、かつ明らかに30k^2+1は明らかに2以上の整数である。すなわち、5(30k^2+1)5でない5の倍数である自然数なので、6n^2+5は素数でない。よって、n=5kのとき、n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5のうち素数でないものが存在したので、(*)を満たさない。(証明終)
    2. (ⅰ) n=5k\pm2(kは自然数)のとき、n^2+1=(5k\pm2)^2+1=25k^2\pm20k+4+1=5(5k^2\pm4k+1)が成立する。k\geqq1より、n\geqq3であり、n^2+1\geqq10。すなわち、n=5k\pm2のとき、n^2+15でない自然数で、5の倍数である。すなわち素数でないので、(*)を満たさない。

     (ⅱ) n=5k\pm1()のとき、2n^2+3=2(5k\pm1)^2+3=(50k^2\pm20k+2)+3=5(10k^2\pm4k+1)が成立する。同様にして、k\geqq1より、n\geqq4であり、2n^2+3\geqq35である。これは、2n^2+35でない自然数で、5の倍数であることを示している。すなわち素数でないので、(*)を満たさない。

     (ⅲ) n=5kのとき、(1)の結果から、(*)を満たさない。

    (ⅰ)~(ⅲ)より、n\geqq3のとき、(*)を満たさない。

    n=1のとき、n^2+1=1+1=22n^2+3=2+3=56n^2+5=6+5=11で、いずれも素数である。

    n=2のとき、n^2+1=4+1=52n^2+3=2\times4+3=8+3=116n^2+5=6\times6+5=29で、いずれも素数である。

    以上の結果から、確かに(*)を満たすようなnn=1, 2のみであることが言えた。(証明終)

    解説

    1. 方針の立て方に沿って解答例を作成しました。5(30k^2+1)5でないことを言わなければ、5は素数なので素数でないことの証明になりません。注意しましょう。
    2. n=5k+1, n=5k+2, n=5k+3\ (n=5k-2), n=5k+4\ (n=5k-1)4通りで場合分けすることも考えられますが、n^25で割ったあまりは、n=5k+1n=5k-1n=5k+2n=5k-2でそれぞれ等しいので、n=5k\pm1n=5k\pm2で場合分けしています。

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2016年慶應大学理工|過去問徹底研究 大問3

2019.05.13

大問3 解答例 コ: サ: シ: ス: セ:0 ソ: タ: チ: 解説 (1) 2個のさいころを区別する. 〇1回目の操作を終えたとき番号3の硬貨の向きが表である確率(コについて) 題意を満たすさいころの出し方は,(1,1),(1,2),(2,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(

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  • 大問3

    解答例

    コ:\frac{13}{36}
    サ:\frac{349}{648}​
    シ:\frac{479}{648}
    ス:-\frac{5}{18}
    セ:0
    ソ:\frac{4}{9}​
    タ:\frac{5}{18}
    チ:\frac{1}{4}\left(\frac{4}{9}\right)^n+\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{18}\right)^n+\frac{1}{4}

    解説

    (1)
    2個のさいころを区別する.
    〇1回目の操作を終えたとき番号3の硬貨の向きが表である確率(コについて)
    題意を満たすさいころの出し方は,(1,1),(1,2),(2,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,6)とこれらの中身を入れ替えたものの計13通り.
    よって,求める確率は,
    \frac{13}{6^2}=\frac{13}{36}……(答)

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2016年慶應大学理工数学|過去問徹底研究 大問2

2019.05.13

本シリーズでは、早慶の各学部の過去問をそれぞれどのように解いたら良いのか、方針をどのように立てていけば良いのかを解説していきます。 方針の立て方 (1) と置くことも可能だが,の情報を盛り込むには, 本解のように置くのが妥当だと見抜きたい. (2) (積分の下限と上限が定数) で積分しているため,考

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  • 本シリーズでは、早慶の各学部の過去問をそれぞれどのように解いたら良いのか、方針をどのように立てていけば良いのかを解説していきます。

    方針の立て方
    (1)

    f\left(x\right)=\alpha x^2+\beta x+\gammaと置くことも可能だが,f\left(0\right)=f\left(1\right)=0の情報を盛り込むには,
    本解のように置くのが妥当だと見抜きたい.

    (2)

    0\leqq x\leqq1 (積分の下限と上限が定数) で積分しているため,考える定積分はaの一変数関数となると見抜き,素直に積分を実行するのが得策だと考える.
    実際に積分を実行すると,ただの2次関数になるため,後は典型的に平方完成による解法を取ればよい.

    (3)

    等式の証明は(左辺)-(右辺)=0を示せばよいことを利用する.Iの2乗の項を展開する際に,f^\prime\left(x\right)-xを一塊と見ると,Jを打ち消せることを利用すると計算が楽になります。
    ひとしきり計算が終わると,h^\prime\left(x\right)の処理が課題となるが,h^\prime\left(x\right)の目ぼしい情報は問題文で殆ど与えられていないため,
    部分積分してh^\prime\left(x\right)を消滅させる打開策が思いつく.

    (4)

    前問でI=Jを示したことを利用するのだと考えたい.
    そして,IJの複雑さを考えると,

    ①一旦Iに帰着させて,その後で,②前問の等式を用いてJに帰着させる.
    という方針が立つ.
    さらに(2)で定義したmが絡んでいることも考えると,
    \left(h^\prime\left(x\right)\right)^2の積分を小さく評価して0にし消滅させる.
    という方針も思いつく.

    ①~③の手順を踏んでいけばg\left(x\right)の置き換えが思いつき, 本解の解答となる.

    解答例

    (1)

    キ:ax\left(x-1\right)
    ク:\frac{1}{4}x\left(x-1\right)

    (2)

    ケ:\frac{5}{16}

    (3)以下、解答

    I=\int_{0}^{1}\left\{\left(f^\prime\left(x\right)+h^\prime\left(x\right)-x\right)^2-\left(f\left(x\right)+h\left(x\right)\right)\right\}dx=\int_{0}^{1}\left\{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right\}dx+\int_{0}^{1}\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2dx+2\int_{0}^{1}{h^\prime\left(x\right)\left\{f^\prime\left(x\right)-x\right\}}dx-\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx
    \therefore I-J=2\int_{0}^{1}{h^\prime\left(x\right)\left{f^\prime\left(x\right)-x\right}}dx-\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\bigm=-\int_{0}^{1}{h^\prime\left(x\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)}dx-\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\ \ \ \ \ \left(\because f\left(x\right)=\frac{1}{4}x\left(x-1\right)\right)\bigm={-\left[h\left(x\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\right]}^1_0+\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\ \ -\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\ \ \ \ \ 第1項に部分積分 =0\ \ \ \ \ (\because h\left(0\right)=h\left(1\right)=0)
    証明終了.

    (4)以下解答

    g\left(x\right)=f\left(x\right)+h\left(x\right)とおくと,h\left(x\right)は任意であるからg\left(x\right)も任意であり,かつ,g\left(0\right)=g\left(1\right)=0をみたす.
    また,g^\prime\left(x\right)=f^\prime\left(x\right)+h^\prime\left(x\right)は連続である.
    \therefore\int_{0}^{1}\left{\left(g^\prime\left(x\right)-x\right)^2-g\left(x\right)\right}dx=\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)+h^\prime\left(x\right)-x\right)^2-\left(f\left(x\right)+h\left(x\right)\right)\right}dx\bigm=\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dx+\int_{0}^{1}\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2dx\ \ \ \ \ 前問の結果 \geqq\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dx\ \ \ \ \ \left(\because\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2\geqq0\right)\bigm\geqq m\ \ \ \ \ 2の結果

    証明終了.

    解説(1)

    f\left(x\right)=\alpha x\left(x-1\right) (\alphaは実数)と表せる.
    f^\prime\left(x\right)=2\alpha x-\alpha
    f^{\prime\prime}\left(x\right)=2\alpha
    \therefore a=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}\left(0\right)=\alpha
    \thereforef\left(x\right)=ax\left(x-1\right)…(答)​

    (2)

    f^\prime\left(x\right)=2ax-aより,
    \int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dx=\int_{0}^{1}\left{\left(\left(2a-1\right)x-a\right)^2-\left(ax^2-ax\right)\right}dx\bigm=\int_{0}^{1}\left{\left(4a^2-5a+1\right)x^2-\left(4a^2-3a\right)x+a^2\right}dx\bigm=\left[\frac{4a^2-5a+1}{3}x^3-\frac{4a^2-3a}{2}x^2+a^2x\right]<em>0^1\bigm=\frac{1}{3}a^2-\frac{1}{6}a+\frac{1}{3}\bigm=\frac{1}{3}\left(a-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{5}{16}
    よって,a=\frac{1}{4}のとき,\int</em>{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dxの値は最小となる.
    よって,
    f\left(x\right)=\frac{1}{4}x\left(x-1\right)のとき,
    最小値\frac{5}{16}……(答)

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2016年慶應大学理工数学|過去問徹底研究 大問1

2019.05.13

本シリーズでは、早慶の各学部の過去問をそれぞれどのように解いたら良いのか、方針をどのように立てていけば良いのかを解説していきます。 方針の立て方 (1) 頻出問題のため特筆事項なし. (2) 実際に図を描いてみることで方針を得る. は倍角の公式を用いてやの形に統一しておくと上手くいくことが多い.(三

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  • 本シリーズでは、早慶の各学部の過去問をそれぞれどのように解いたら良いのか、方針をどのように立てていけば良いのかを解説していきます。

    方針の立て方

    (1)

    頻出問題のため特筆事項なし.

    (2)

    実際に図を描いてみることで方針を得る.

    \sin{2\theta}や\cos{2\theta}は倍角の公式を用いて\sin{\theta}\cos{\theta}の形に統一しておくと上手くいくことが多い.(三角関数が苦手な受験生の多くに見られることだが,\sin{2\theta}\cos{2\theta}\sin{\theta}\cos{\theta}を別個の関数と見なしてしまわないように注意しよう.
    見かけは違っていても,これらは全て\thetaの関数であり,倍角の公式や相互関係の式:{\mathrm{cos}}^2\theta+{\mathrm{sin}}^2\theta=1でつながっている.実際,(ⅲ)ではxの一変数関数となっている!)
    さらに,極限の問題があることを加味すると,積の形に因数分解しておくのが良いことも分かる.

    解答例

    ア:36
    イ:182
    ウ:\sqrt3
    エ:9
    オ:\frac{-1+\sqrt7}{4}
    カ:\frac{10+7\sqrt7}{16}

    解説

    (1)

    2016=2^5\cdot3^2\cdot7
    よって,正の約数の個数は,
    \left(5+1\right)\left(2+1\right)\left(1+1\right)=36個
    また,正の約数の和は,2^c\cdot3^b\cdot7^aで,aを0,1,bを0,1,2,cを0,1,2,3,4,5と変化させて,それらを全部足し合わせたものであるから,
    $\displaystyle \sum^1_{a=0}\sum^2_{b=0}\sum^5_{c=0}\left(2^c\cdot3^b\cdot7^a\right)=\left(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5\right)\left(3^0+3^1+3^2\right)\left(7^0+7^1\right)=63\cdot13\cdot8$
    より,
    \frac{63\cdot13\cdot8}{36}=182…(答)

    (2)

    S_1\left(\theta\right)=\frac{1}{2}\cdot2\left(\sin{\theta}+\sin{2\theta}\right)\cdot\left(\cos{\theta}-\cos{2\theta}\right)=\sin{\theta\left(1-\cos{\theta}\right)}\left(2\cos{\theta}+1\right)^2
    S_2\left(\theta\right)=\frac{1}{2}\cdot2\sin{\theta}\cdot\left(1-\cos{\theta}\right)=\sin{\theta}\left(1-\cos{\theta}\right)

    (ⅰ)
    S_1\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3

    (ⅱ)
    $\displaystyle \lim{\theta\to+0}{\frac{S1\left(\theta\right)}{S2\left(\theta\right)}}=\lim{\theta\to+0}{\frac{\sin{\theta\left(1-\cos{\theta}\right)}\left(2\cos{\theta}+1\right)^2}{\sin{\theta}\left(1-\cos{\theta}\right)}}=\lim{\theta\to+0}{\left(2\cos{\theta}+1\right)^2}=9$

    (ⅲ)
    \cos{\theta}=xとおくと,<\theta<\frac{\pi}{2}より,0<\sin{\theta}だから,\sin{\theta}=\sqrt{1-{\mathrm{cos}}^2\theta}=\sqrt{1-x^2}である.
    S_1=\sqrt{1-x^2}\left(1-x\right)\left(2x+1\right)^2
    積の微分法則を使えば,
    \frac{dS_1}{dx}=\frac{\left(2x+1\right)\left(x-1\right)\left(8x^2+4x-3\right)}{\sqrt{1-x^2}}
    0<\theta<\frac{\pi}{2}より,0<\cos{\theta}=x<1に注意すれば,
    \frac{dS_1}{dx}=0\Leftrightarrow x=\frac{-1+\sqrt7}{4}
    増減表を書くと,

    x 0 \frac{-1+\sqrt7}{4} 1
    \frac{dS_1}{dx} + + 0 ×
    S_1 \nearrow \nearrow 最大 \searrow \searrow

    \left.S_1\right|_{x=\frac{-1+\sqrt7}{4}}=\frac{10+7\sqrt7}{16}
    よって,
    \cos{\theta}=\frac{-1+\sqrt7}{4}のとき最大値\frac{10+7\sqrt7}{16}をとる.…(答)

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