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2016年慶應大学理工|過去問徹底研究 大問3

2019.05.13

大問3 解答例 コ: サ: シ: ス: セ:0 ソ: タ: チ: 解説 (1) 2個のさいころを区別する. 〇1回目の操作を終えたとき番号3の硬貨の向きが表である確率(コについて) 題意を満たすさいころの出し方は,(1,1),(1,2),(2,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(

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  • 大問3

    解答例

    コ:\frac{13}{36}
    サ:\frac{349}{648}​
    シ:\frac{479}{648}
    ス:-\frac{5}{18}
    セ:0
    ソ:\frac{4}{9}​
    タ:\frac{5}{18}
    チ:\frac{1}{4}\left(\frac{4}{9}\right)^n+\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{18}\right)^n+\frac{1}{4}

    解説

    (1)
    2個のさいころを区別する.
    〇1回目の操作を終えたとき番号3の硬貨の向きが表である確率(コについて)
    題意を満たすさいころの出し方は,(1,1),(1,2),(2,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,6)とこれらの中身を入れ替えたものの計13通り.
    よって,求める確率は,
    \frac{13}{6^2}=\frac{13}{36}……(答)

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2016年慶應大学理工数学|過去問徹底研究 大問2

2019.05.13

本シリーズでは、早慶の各学部の過去問をそれぞれどのように解いたら良いのか、方針をどのように立てていけば良いのかを解説していきます。 方針の立て方 (1) と置くことも可能だが,の情報を盛り込むには, 本解のように置くのが妥当だと見抜きたい. (2) (積分の下限と上限が定数) で積分しているため,考

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  • 本シリーズでは、早慶の各学部の過去問をそれぞれどのように解いたら良いのか、方針をどのように立てていけば良いのかを解説していきます。

    方針の立て方
    (1)

    f\left(x\right)=\alpha x^2+\beta x+\gammaと置くことも可能だが,f\left(0\right)=f\left(1\right)=0の情報を盛り込むには,
    本解のように置くのが妥当だと見抜きたい.

    (2)

    0\leqq x\leqq1 (積分の下限と上限が定数) で積分しているため,考える定積分はaの一変数関数となると見抜き,素直に積分を実行するのが得策だと考える.
    実際に積分を実行すると,ただの2次関数になるため,後は典型的に平方完成による解法を取ればよい.

    (3)

    等式の証明は(左辺)-(右辺)=0を示せばよいことを利用する.Iの2乗の項を展開する際に,f^\prime\left(x\right)-xを一塊と見ると,Jを打ち消せることを利用すると計算が楽になります。
    ひとしきり計算が終わると,h^\prime\left(x\right)の処理が課題となるが,h^\prime\left(x\right)の目ぼしい情報は問題文で殆ど与えられていないため,
    部分積分してh^\prime\left(x\right)を消滅させる打開策が思いつく.

    (4)

    前問でI=Jを示したことを利用するのだと考えたい.
    そして,IJの複雑さを考えると,

    ①一旦Iに帰着させて,その後で,②前問の等式を用いてJに帰着させる.
    という方針が立つ.
    さらに(2)で定義したmが絡んでいることも考えると,
    \left(h^\prime\left(x\right)\right)^2の積分を小さく評価して0にし消滅させる.
    という方針も思いつく.

    ①~③の手順を踏んでいけばg\left(x\right)の置き換えが思いつき, 本解の解答となる.

    解答例

    (1)

    キ:ax\left(x-1\right)
    ク:\frac{1}{4}x\left(x-1\right)

    (2)

    ケ:\frac{5}{16}

    (3)以下、解答

    I=\int_{0}^{1}\left\{\left(f^\prime\left(x\right)+h^\prime\left(x\right)-x\right)^2-\left(f\left(x\right)+h\left(x\right)\right)\right\}dx=\int_{0}^{1}\left\{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right\}dx+\int_{0}^{1}\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2dx+2\int_{0}^{1}{h^\prime\left(x\right)\left\{f^\prime\left(x\right)-x\right\}}dx-\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx
    \therefore I-J=2\int_{0}^{1}{h^\prime\left(x\right)\left{f^\prime\left(x\right)-x\right}}dx-\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\bigm=-\int_{0}^{1}{h^\prime\left(x\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)}dx-\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\ \ \ \ \ \left(\because f\left(x\right)=\frac{1}{4}x\left(x-1\right)\right)\bigm={-\left[h\left(x\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\right]}^1_0+\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\ \ -\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\ \ \ \ \ 第1項に部分積分 =0\ \ \ \ \ (\because h\left(0\right)=h\left(1\right)=0)
    証明終了.

    (4)以下解答

    g\left(x\right)=f\left(x\right)+h\left(x\right)とおくと,h\left(x\right)は任意であるからg\left(x\right)も任意であり,かつ,g\left(0\right)=g\left(1\right)=0をみたす.
    また,g^\prime\left(x\right)=f^\prime\left(x\right)+h^\prime\left(x\right)は連続である.
    \therefore\int_{0}^{1}\left{\left(g^\prime\left(x\right)-x\right)^2-g\left(x\right)\right}dx=\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)+h^\prime\left(x\right)-x\right)^2-\left(f\left(x\right)+h\left(x\right)\right)\right}dx\bigm=\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dx+\int_{0}^{1}\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2dx\ \ \ \ \ 前問の結果 \geqq\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dx\ \ \ \ \ \left(\because\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2\geqq0\right)\bigm\geqq m\ \ \ \ \ 2の結果

    証明終了.

    解説(1)

    f\left(x\right)=\alpha x\left(x-1\right) (\alphaは実数)と表せる.
    f^\prime\left(x\right)=2\alpha x-\alpha
    f^{\prime\prime}\left(x\right)=2\alpha
    \therefore a=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}\left(0\right)=\alpha
    \thereforef\left(x\right)=ax\left(x-1\right)…(答)​

    (2)

    f^\prime\left(x\right)=2ax-aより,
    \int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dx=\int_{0}^{1}\left{\left(\left(2a-1\right)x-a\right)^2-\left(ax^2-ax\right)\right}dx\bigm=\int_{0}^{1}\left{\left(4a^2-5a+1\right)x^2-\left(4a^2-3a\right)x+a^2\right}dx\bigm=\left[\frac{4a^2-5a+1}{3}x^3-\frac{4a^2-3a}{2}x^2+a^2x\right]<em>0^1\bigm=\frac{1}{3}a^2-\frac{1}{6}a+\frac{1}{3}\bigm=\frac{1}{3}\left(a-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{5}{16}
    よって,a=\frac{1}{4}のとき,\int</em>{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dxの値は最小となる.
    よって,
    f\left(x\right)=\frac{1}{4}x\left(x-1\right)のとき,
    最小値\frac{5}{16}……(答)

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2016年慶應大学理工数学|過去問徹底研究 大問1

2019.05.13

本シリーズでは、早慶の各学部の過去問をそれぞれどのように解いたら良いのか、方針をどのように立てていけば良いのかを解説していきます。 方針の立て方 (1) 頻出問題のため特筆事項なし. (2) 実際に図を描いてみることで方針を得る. は倍角の公式を用いてやの形に統一しておくと上手くいくことが多い.(三

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  • 本シリーズでは、早慶の各学部の過去問をそれぞれどのように解いたら良いのか、方針をどのように立てていけば良いのかを解説していきます。

    方針の立て方

    (1)

    頻出問題のため特筆事項なし.

    (2)

    実際に図を描いてみることで方針を得る.

    \sin{2\theta}や\cos{2\theta}は倍角の公式を用いて\sin{\theta}\cos{\theta}の形に統一しておくと上手くいくことが多い.(三角関数が苦手な受験生の多くに見られることだが,\sin{2\theta}\cos{2\theta}\sin{\theta}\cos{\theta}を別個の関数と見なしてしまわないように注意しよう.
    見かけは違っていても,これらは全て\thetaの関数であり,倍角の公式や相互関係の式:{\mathrm{cos}}^2\theta+{\mathrm{sin}}^2\theta=1でつながっている.実際,(ⅲ)ではxの一変数関数となっている!)
    さらに,極限の問題があることを加味すると,積の形に因数分解しておくのが良いことも分かる.

    解答例

    ア:36
    イ:182
    ウ:\sqrt3
    エ:9
    オ:\frac{-1+\sqrt7}{4}
    カ:\frac{10+7\sqrt7}{16}

    解説

    (1)

    2016=2^5\cdot3^2\cdot7
    よって,正の約数の個数は,
    \left(5+1\right)\left(2+1\right)\left(1+1\right)=36個
    また,正の約数の和は,2^c\cdot3^b\cdot7^aで,aを0,1,bを0,1,2,cを0,1,2,3,4,5と変化させて,それらを全部足し合わせたものであるから,
    $\displaystyle \sum^1_{a=0}\sum^2_{b=0}\sum^5_{c=0}\left(2^c\cdot3^b\cdot7^a\right)=\left(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5\right)\left(3^0+3^1+3^2\right)\left(7^0+7^1\right)=63\cdot13\cdot8$
    より,
    \frac{63\cdot13\cdot8}{36}=182…(答)

    (2)

    S_1\left(\theta\right)=\frac{1}{2}\cdot2\left(\sin{\theta}+\sin{2\theta}\right)\cdot\left(\cos{\theta}-\cos{2\theta}\right)=\sin{\theta\left(1-\cos{\theta}\right)}\left(2\cos{\theta}+1\right)^2
    S_2\left(\theta\right)=\frac{1}{2}\cdot2\sin{\theta}\cdot\left(1-\cos{\theta}\right)=\sin{\theta}\left(1-\cos{\theta}\right)

    (ⅰ)
    S_1\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3

    (ⅱ)
    $\displaystyle \lim{\theta\to+0}{\frac{S1\left(\theta\right)}{S2\left(\theta\right)}}=\lim{\theta\to+0}{\frac{\sin{\theta\left(1-\cos{\theta}\right)}\left(2\cos{\theta}+1\right)^2}{\sin{\theta}\left(1-\cos{\theta}\right)}}=\lim{\theta\to+0}{\left(2\cos{\theta}+1\right)^2}=9$

    (ⅲ)
    \cos{\theta}=xとおくと,<\theta<\frac{\pi}{2}より,0<\sin{\theta}だから,\sin{\theta}=\sqrt{1-{\mathrm{cos}}^2\theta}=\sqrt{1-x^2}である.
    S_1=\sqrt{1-x^2}\left(1-x\right)\left(2x+1\right)^2
    積の微分法則を使えば,
    \frac{dS_1}{dx}=\frac{\left(2x+1\right)\left(x-1\right)\left(8x^2+4x-3\right)}{\sqrt{1-x^2}}
    0<\theta<\frac{\pi}{2}より,0<\cos{\theta}=x<1に注意すれば,
    \frac{dS_1}{dx}=0\Leftrightarrow x=\frac{-1+\sqrt7}{4}
    増減表を書くと,

    x 0 \frac{-1+\sqrt7}{4} 1
    \frac{dS_1}{dx} + + 0 ×
    S_1 \nearrow \nearrow 最大 \searrow \searrow

    \left.S_1\right|_{x=\frac{-1+\sqrt7}{4}}=\frac{10+7\sqrt7}{16}
    よって,
    \cos{\theta}=\frac{-1+\sqrt7}{4}のとき最大値\frac{10+7\sqrt7}{16}をとる.…(答)

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