偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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早稲田政治経済2018

2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問5

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)
特筆事項なし.

(2)
考えるべき条件は『「2戦1敗」し,かつ「優勝する」こと』である.よって,「2戦1敗」する場合をまず考え,その中から「優勝する」場合を考えればよい.ここで,『「2戦1敗」し,かつ「優勝しない」』という場合の数が少ないということに気付けば,「優勝しない」場合を求め,それを取り除く方がよいと判断する.(※これは実は余事象の考え方である)

(3)
前問と同様に「1戦2敗」する場合をまず考え,その中から「優勝する」場合を考えればよいが,これを満たすことはないため,0である.

(4)
(1)~(3)までの解答を合わせれば,リーグ戦でチームAが優勝する確率は求まる.よって,トーナメント戦でチームAが優勝する確率を求め,素直に比較すればよいと判断する.

解答例

(1)p^3

(2)
チームAが2勝1敗となる確率を求める.
どのチームに負けるかで3通りあるので,3\times p^2\left(1-p\right)=3p^2\left(1-p\right)
チームAの戦績が2勝1敗だったとしても,チームAに勝ったチームが全勝すると,チームAは優勝できない.チームAが2勝1敗で,かつ,チームAに勝ったチームが全勝する確率は,チームAとの対戦以外の対戦2回にも勝つ確率を考えればいいので,3p^2\left(1-p\right)\times\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}p^2\left(1-p\right)
よって,求める確率は,
3p^2\left(1-p\right)-\frac{3}{4}p^2\left(1-p\right)=\frac{9}{4}p^2\left(1-p\right)……(答)

(3)
チームAを負かした2チームについて着目する.チームAに勝っているので,両チームとも1勝はしていることになる.ここで,この2チーム同士の試合を考えると,必ずどちらかが勝つので,どちらかのチームの勝利数は,この段階で2となるはずである.よって,1勝2敗のチームAが優勝することはない.
よって,求める確率は0……(答)

(4)
結論:リーグ戦……(答)
理由:0勝3敗で優勝することはないため,リーグ戦でAが優勝する確率は(1)~(3)の結果と合わせて考えると,p^3+\frac{9}{4}p^2\left(1-p\right)=\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)である.一方,トーナメント戦で優勝する確率はp^2である(\because2回勝てば優勝する).ここで,両者の差を取って考えると,
\left\{\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)\right\}-\left\{p^2\right\}=\frac{5}{4}p^2\left(1-p\right)>0より,p^2<\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)
これはリーグ戦で優勝する確率が,トーナメント戦で優勝する確率より大きいことに他ならない.

解説

(1)
A対B…確率pで勝つ
A対C…確率pで勝つ
A対D…確率pで勝つ
よって,チームAが全試合に勝利する確率はp^3となる.
全勝すれば優勝するので,求める確率はp^3……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。