方針の立て方

(1)
特筆事項なし．

(2)
考えるべき条件は『「2戦1敗」し，かつ「優勝する」こと』である．よって，「2戦1敗」する場合をまず考え，その中から「優勝する」場合を考えればよい．ここで，『「2戦1敗」し，かつ「優勝しない」』という場合の数が少ないということに気付けば，「優勝しない」場合を求め，それを取り除く方がよいと判断する．(※これは実は余事象の考え方である)

(3)
前問と同様に「1戦2敗」する場合をまず考え，その中から「優勝する」場合を考えればよいが，これを満たすことはないため，0である．

(4)
(1)～(3)までの解答を合わせれば，リーグ戦でチームAが優勝する確率は求まる．よって，トーナメント戦でチームAが優勝する確率を求め，素直に比較すればよいと判断する．

解答例

(1) $p^3$

(2)
チームAが2勝1敗となる確率を求める．
どのチームに負けるかで3通りあるので， $3\times p^2\left(1-p\right)=3p^2\left(1-p\right)$ ．
チームAの戦績が2勝1敗だったとしても，チームAに勝ったチームが全勝すると，チームAは優勝できない．チームAが2勝1敗で，かつ，チームAに勝ったチームが全勝する確率は，チームAとの対戦以外の対戦2回にも勝つ確率を考えればいいので， $3p^2\left(1-p\right)\times\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}p^2\left(1-p\right)$
よって，求める確率は，
$3p^2\left(1-p\right)-\frac{3}{4}p^2\left(1-p\right)=\frac{9}{4}p^2\left(1-p\right)$ ……(答)

(3)
チームAを負かした2チームについて着目する．チームAに勝っているので，両チームとも1勝はしていることになる．ここで，この2チーム同士の試合を考えると，必ずどちらかが勝つので，どちらかのチームの勝利数は，この段階で2となるはずである．よって，1勝2敗のチームAが優勝することはない．
よって，求める確率は0……(答)

(4)
結論：リーグ戦……(答)
理由：0勝3敗で優勝することはないため，リーグ戦でAが優勝する確率は(1)～(3)の結果と合わせて考えると， $p^3+\frac{9}{4}p^2\left(1-p\right)=\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)$ である．一方，トーナメント戦で優勝する確率は $p^2$ である( $\because$ 2回勝てば優勝する)．ここで，両者の差を取って考えると，
$\left\{\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)\right\}-\left\{p^2\right\}=\frac{5}{4}p^2\left(1-p\right)>0$ より， $p^2<\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)$
これはリーグ戦で優勝する確率が，トーナメント戦で優勝する確率より大きいことに他ならない．