方針の立て方

(1)
円の問題(それも半径の情報が与えられている問題)であるため，中心を基準に考える．

(2)
$z$ は $x$ と $y$ の二変数関数であるため，何とかして一変数化したい．すると $xy=4$ を用いることが思いつく．

(3)
定義通り計算すればよい．

解答例
(1) $2\sqrt3$
(2) $0\leqq z<4$
(3)平均値： $75$ 点
標準偏差： $25\sqrt3$

解説

(1)

左図のように，正三角形に分割して考えると，
求める面積は，
$6\times\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}\cdot1=2\sqrt3$ ……(答)

(2)
$z=\left(\log_2{x}\right)^2\left(\log_2{\frac{8}{x}}\right)=\left(\log_2{x}\right)^2\left(\log_2{8}-\log_2{x}\right)=\left(\log_2{x}\right)^2\left(3-\log_2{x}\right)=-\left(\log_2{x}\right)^3+3\left(\log_2{x}\right)^2$
$y>1$ より， $\frac{4}{x}>1$ ． $x\geqq 1$ と合わせると， $1\leqq x<4$ ．
$0\leqq\log_2{x}<2$
ここで， $\log_2{x}=X$ とおけば，
$z=-X^3+3X^2$ ( $0\leqq X<2$ )
$\frac{dz}{dX}=-3X^2+6X=-3X\left(X-2\right)$
増減表を描くと，

$X$	$0$	$\cdots$	$2$
$\frac{dz}{dX}$	$0$	$+$	$0$
$z$	$0$	$\nearrow$	$4$

$\therefore0\leqq z<4$ ……(答)

(3)
平均値： $\frac{25\cdot0+75\cdot100}{100}=75$ 点……(答)
標準偏差： $\sqrt{\frac{25\cdot\left(0-75\right)^2+75\cdot\left(100-75\right)^2}{100}}=25\sqrt3$ ……(答)