偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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早稲田政治経済2017

2017年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問1

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)特筆事項なし.

(2)2k乗のまま総和を取るのは難しいため,一先ず指数をkに直す.するととても簡単な形になり,解答を得る.

(3)特筆事項なし.

(4)条件式を使うにはx\pm yの形を作り出す必要があるため,積和の公式を利用することを考える.

解答例

(1)n\cdot4^n
(2)-i
(3)n=17
(4)\frac{2}{15}

解説

(1)
S=4+7\cdot4+10\cdot4^2+\cdots\cdots+\left(3n+1\right)\cdot4^{n-1}とおくと,
S=4+7\cdot4+10\cdot4^2+\cdots\cdots+\left(3n+1\right)\cdot4^{n-1}\bigm4S=4\cdot4+7\cdot4^2\ \ +\cdots\cdots+3n\cdot4^{n-1}+\left(3n+1\right)\cdot4^n
両辺を引くと,
-3S=4+3\left(4+4^2+\cdots\cdots+4^{n-1}\right)-\left(3n+1\right)\cdot4^n=4+3\cdot\frac{4\left(1-4^{n-1}\right)}{1-4}-\left(3n+1\right)\cdot4^n=-3n\cdot4^n
\therefore S=n\cdot4^n……(答)

(2)
\sum_{k=1}^{2017}\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{2k}=\sum_{k=1}^{2017}\left(-i\right)^k=\frac{-i\left\{1-\left(-i\right)^{2017}\right\}}{1-\left(-i\right)}=\frac{-i\left(1+i\right)}{1+i}=-i……(答)

(3)
余事象で考えれば,
p_n=1-\left(\frac{5}{6}\right)^n
\therefore p_n\geqq0.95\Leftrightarrow0.05\geqq\left(\frac{5}{6}\right)^n
両辺が正のため,両辺の常用対数を取ることができて,
\log_{10}{0.05}\geqq\log_{10}{\left(\frac{5}{6}\right)^n}
ここで,
\log_{10}{0.05}=\log_{10}{\left(\frac{1}{2}\times{10}^{-1}\right)}=-1-\log_{10}{2}=-1.3010
\log_{10}{\left(\frac{5}{6}\right)^n}=n\log_{10}{\frac{5}{6}}=n\log_{10}{\frac{10}{2^2\cdot3}}=n\left(1-2\log_{10}{2}-\log_{10}{3}\right)=-0.0791n
より,
-1.3010\geqq-0.0791n\Leftrightarrow n\geqq\frac{1.3010}{0.0791}=16.44\cdots\cdots
よって,求めるnの値は,
n=17……(答)

(4)
積和の公式と倍角の公式を用いれば,
\sin{2x}\sin{2y}=\frac{1}{2}\left\{\cos{2\left(x-y\right)}-\cos{2\left(x+y\right)}\right\}=\frac{1}{2}\left\{2{\mathrm{cos}}^2\left(x-y\right)-1-\left(1-2{\mathrm{sin}}^2\left(x+y\right)\right)\right\}={\mathrm{cos}}^2\left(x-y\right)+{\mathrm{sin}}^2\left(x+y\right)-1=\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt5}\right)^2-1=\frac{2}{15}……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。