方針の立て方

(1)
特筆事項なし．

(2)
$\mathrm{OM}$ は $\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime$ 上の点であること，前問で $\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime$ の長さを求めていたことから， $\vec{\mathrm{OM}}=k\vec{\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime}$ とおいて，ベクトルの問題に持ち込むと考える．他に「点 $\mathrm{M}$ は $\triangle\mathrm{PQR}$ 上の点である」という情報が残っているので，これを加味して考える．

(3)
前問で点 $\mathrm{M}$ は $\triangle\mathrm{PQR}$ 上の点であることは考えているので，後は重心の情報を加味すればよい．

(4)
前問とは違い，垂心の位置ベクトルを書き下すのは難しいため，別の方法で，垂心の情報を盛り込まねばならない．すると，垂直ならば内積が0という考え方が思いつく．

解答例

(1) $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
(2) $\frac{pqr}{pq+qr+rp}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
(3)
$\triangle\mathrm{PQR}$ の重心が点 $\mathrm{M}$ であるので， $\vec{\mathrm{OM}}=\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OP}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OQ}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OR}}$ となる．
よって，前問の議論(解説参照)で $\begin{cases} x=\frac{1}{3} \\ y=\frac{1}{3} \end{cases}$ となり，故に $\begin{cases} p=3k \\ q=3k \\ r=3k \end{cases}$
$\therefore p\colon q\colon r=1\colon1\colon1$ ……(答)

(4)
(2)での議論より， $\bigm\vec{\mathrm{OM}}=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OO}^\prime}=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OC}}$ である．
$\mathrm{OM}\bot\mathrm{PQ},\mathrm{OM}⊥\mathrm{PR}$ より，
$\begin{cases} \vec{\mathrm{OM}}\cdot\vec{\mathrm{PQ}}=0 \\ \vec{\mathrm{OM}}\cdot\vec{\mathrm{PR}}=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \vec{\mathrm{OM}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OQ}}-\vec{\mathrm{OP}}\right)=0 \\ \vec{\mathrm{OM}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OR}}-\vec{\mathrm{OP}}\right)=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} qb^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}-pa^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}=0 \\ rc^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}-pa^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}=0 \end{cases}$
$\therefore\begin{cases} p=\frac{c^2}{a^2}r \\ q=\frac{c^2}{b^2}r \end{cases}$
$\therefore p\colon q\colon r=\frac{c^2}{a^2}r\colon\frac{c^2}{b^2}r\colon r=b^2c^2\colon c^2a^2\colon a^2b^2$ ……(答)

解説

(1)
$\triangle\mathrm{OAC}^\prime$ について三平方の定理を使うことで，
$\mathrm{OC}^\prime=\sqrt{a^2+b^2}$
$\triangle\mathrm{OC}^\prime\mathrm{O}^\prime$ について三平方の定理を使うことで，
$\mathrm{OO}^\prime=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

(2)
$\vec{\mathrm{OP}}=p\vec{\mathrm{OA}},\vec{\mathrm{OQ}}=q\vec{\mathrm{OB}},\vec{\mathrm{OR}}=r\vec{\mathrm{OC}},\vec{\mathrm{OO}^\prime}=\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}$ である．
点 $\mathrm{M}$ は対角線 $\mathrm{OO}^\prime$ 上の点のため，定数 $k$ を用いて，
$\vec{\mathrm{OM}}=k\vec{\mathrm{OO}^\prime}=k\vec{\mathrm{OA}}+k\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OC}}$
と表せる．
また，点 $\mathrm{M}$ は $\triangle\mathrm{PQR}$ 上の点でもあるため，定数 $x,y$ を用いて，
$\vec{\mathrm{OM}}=x\vec{\mathrm{OP}}+y\vec{\mathrm{OQ}}+\left(1-x-y\right)\vec{\mathrm{OR}}=xp\vec{\mathrm{OA}}+yq\vec{\mathrm{OB}}+\left(1-x-y\right)r\vec{\mathrm{OC}}$
と表せる．
2式で係数比較すると，
$\begin{cases} k=xp \\ k=yq \\ k=\left(1-x-y\right)r \end{cases}$
これを解くと， $k=\frac{pqr}{pq+qr+rp}$ となる．
$\therefore\left|\vec{\mathrm{OM}}\right|=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime}\right|=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ……(答)