偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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早稲田政治経済2017

2017年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究 大問4

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)
特筆事項なし.

(2)
\mathrm{OM}\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime上の点であること,前問で\mathrm{O}\mathrm{O}^\primeの長さを求めていたことから,\vec{\mathrm{OM}}=k\vec{\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime}とおいて,ベクトルの問題に持ち込むと考える.他に「点\mathrm{M}\triangle\mathrm{PQR}上の点である」という情報が残っているので,これを加味して考える.

(3)
前問で点\mathrm{M}\triangle\mathrm{PQR}上の点であることは考えているので,後は重心の情報を加味すればよい.

(4)
前問とは違い,垂心の位置ベクトルを書き下すのは難しいため,別の方法で,垂心の情報を盛り込まねばならない.すると,垂直ならば内積が0という考え方が思いつく.

解答例

(1)\sqrt{a^2+b^2+c^2}
(2)\frac{pqr}{pq+qr+rp}\sqrt{a^2+b^2+c^2}
(3)
\triangle\mathrm{PQR}の重心が点\mathrm{M}であるので,\vec{\mathrm{OM}}=\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OP}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OQ}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OR}}となる.
よって,前問の議論(解説参照)で\begin{cases} x=\frac{1}{3} \\ y=\frac{1}{3} \end{cases}となり,故に\begin{cases} p=3k \\ q=3k \\ r=3k \end{cases}
\therefore p\colon q\colon r=1\colon1\colon1……(答)

(4)
(2)での議論より,\bigm\vec{\mathrm{OM}}=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OO}^\prime}=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OC}}である.
\mathrm{OM}\bot\mathrm{PQ},\mathrm{OM}⊥\mathrm{PR}より,
\begin{cases} \vec{\mathrm{OM}}\cdot\vec{\mathrm{PQ}}=0 \\ \vec{\mathrm{OM}}\cdot\vec{\mathrm{PR}}=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \vec{\mathrm{OM}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OQ}}-\vec{\mathrm{OP}}\right)=0 \\ \vec{\mathrm{OM}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OR}}-\vec{\mathrm{OP}}\right)=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} qb^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}-pa^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}=0 \\ rc^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}-pa^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}=0 \end{cases}
\therefore\begin{cases} p=\frac{c^2}{a^2}r \\ q=\frac{c^2}{b^2}r \end{cases}
\therefore p\colon q\colon r=\frac{c^2}{a^2}r\colon\frac{c^2}{b^2}r\colon r=b^2c^2\colon c^2a^2\colon a^2b^2……(答)

解説

(1)
\triangle\mathrm{OAC}^\primeについて三平方の定理を使うことで,
\mathrm{OC}^\prime=\sqrt{a^2+b^2}
\triangle\mathrm{OC}^\prime\mathrm{O}^\primeについて三平方の定理を使うことで,
\mathrm{OO}^\prime=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

(2)
\vec{\mathrm{OP}}=p\vec{\mathrm{OA}},\vec{\mathrm{OQ}}=q\vec{\mathrm{OB}},\vec{\mathrm{OR}}=r\vec{\mathrm{OC}},\vec{\mathrm{OO}^\prime}=\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}である.
\mathrm{M}は対角線\mathrm{OO}^\prime上の点のため,定数kを用いて,
\vec{\mathrm{OM}}=k\vec{\mathrm{OO}^\prime}=k\vec{\mathrm{OA}}+k\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OC}}
と表せる.
また,点\mathrm{M}\triangle\mathrm{PQR}上の点でもあるため,定数x,yを用いて,
\vec{\mathrm{OM}}=x\vec{\mathrm{OP}}+y\vec{\mathrm{OQ}}+\left(1-x-y\right)\vec{\mathrm{OR}}=xp\vec{\mathrm{OA}}+yq\vec{\mathrm{OB}}+\left(1-x-y\right)r\vec{\mathrm{OC}}
と表せる.
2式で係数比較すると,
\begin{cases} k=xp \\ k=yq \\ k=\left(1-x-y\right)r \end{cases}
これを解くと,k=\frac{pqr}{pq+qr+rp}となる.
\therefore\left|\vec{\mathrm{OM}}\right|=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime}\right|=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\sqrt{a^2+b^2+c^2}……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。