方針の立て方

(1)
実際に題意を満たす取り出し方を考えてみれば方針を得られる．

(2)
余事象を考えた方が考えるべきパターン数が少ないことから，余事象で攻めると判断する．

(3)
実際に題意を満たす取り出し方を考えると，3つの数字全てが異なる必要がある．逆に，3つの数字が全て異なれば，取り出す順番は一意的(一対一)に決まる．つまり，題意を満たす場合の数を求めるという問題を，3つの数字の選び方を求めるという問題に言い換えることができる．このように一対一対応している際には，問題を言い換えることで考えやすくなることが多いのでおさえておこう．

解答例

(1) $\frac{1}{2}n\left(n-1\right)$ 通り
(2) $n\left(3n-2\right)$ 通り
(3) $\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)$ 通り

解説

(1)
題意を満たすカードの引き方を下表にまとめる．

$X$ の値	$Y$ の値	$Z$ の値	場合の数(通り)
$1$	$1$	$2\sim n$	$n-1$
$2$	$2$	$3\sim n$	$n-2$
$3$	$3$	$4\sim n$	$n-3$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$n-1$	$n-1$	$n$	$1$

よって，求める場合の数は，
$\sum_{k=1}^{n-1}\left(n-k\right)=\frac{1}{2}\ n\left(n-1\right)$ 通り．……(答)

(2)
全ての場合の数は $n^3$ 通り．
以下，余事象を考え，全て等しくない場合の数を求める．
1回目の試行ではどの数字のカードを取り出しても良いため， $n$ 通りの取り出し方がある．
2回目の試行では1回目の試行で取り出したカード以外のカードを取り出さなければならないため， $n-1$ 通りの取り出し方がある．
2回目の試行では1回目と2回目の試行で取り出したカード以外のカードを取り出さなければならないため， $n-2$ 通りの取り出し方がある．
よって，全て等しくない場合の数は， $n\left(n-1\right)\left(n-2\right)$ 通り．
よって，求める場合の数は，
$n^3-n\left(n-1\right)\left(n-2\right)=n\left(3n-2\right)$ 通り．……(答)

(3)
取り出される3種類の数字が決まってしまえば，題意を満たす取り出し方は一意的に決まる(小さい順に取り出されねばならない)．よって， $n$ 種類の数字から3種類を取り出す場合の数を求めれば，それが答えである．
$\therefore\ {_n^}\mathrm{C}_3=\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)$ 通り．……(答)

(別解)

許される $X$ の範囲は， $1\leqq X\leqq n-2$ である．
許される $Y$ の範囲は， $X+1\leqq Y\leqq n-1$ である．
許される $Z$ の範囲は， $Y+1\leqq Z\leqq n$ である．
$\therefore\sum_{X=1}^{n-2}\sum_{Y=X+1}^{n-1}\sum_{Z=Y+1}^{n}1=\sum_{X=1}^{n-2}\sum_{Y=X+1}^{n-1}\left(n-Y\right)=\sum_{X=1}^{n-2}\frac{\left(n-x-1\right)\left(n-x\right)}{2}=\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)$ 通り．……(答)
という解答でも可能です．(但し，計算はこちらの方が圧倒的に煩雑なので，本解答の解法をお勧めします…)