方針の立て方

(1)
基本的な問題であるため特筆事項なし．

(2)
(ⅰ)本問は，「弧の長さ」を「角度」を用いて表せという問題である．この長さと角度といえば弧度法であるため，弧度法の関係式から考える．
(ⅱ)正 $n$ 角形ということで， $a_k$ やそれに比例している頂角が全て等しくなることを考える． $a_k$ と $a_{k+1}$ は前問で求めたので，試しに $a_{k+2}$ を求めてみて挙動を確認する．すると， $a_{k+2}=a_k$ が分かり解法を得る．
(ⅲ)前問と同じ方針で解ける．
(ⅳ)内角1個に関する公式はないため，代わりに内角の和の公式から考える． $\alpha$ を $n$ の式で表せてしまえば，後は前問の結果を $n$ に変形するだけである．

解答例

(1)
ア： $2\sin{2x}$
イ： $\frac{\pi}{4}$
ウ： $2$

(2)
(ⅰ)
円 $\mathrm{O}$ の半径は1のため， $a_k$ の長さと $\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$ の頂角の角度(弧度法)は一致する．
$\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$ の頂角は $\pi-2\theta_k$
$\therefore a_k=\pi-2\theta_k$ ……(答)
$\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_{k+1}\mathrm{A}_{k+2}$ の頂角は $\pi-2\theta_{k+1}=\pi-2\alpha+2\theta_k$ ( $\because\theta_{k+1}=\alpha-\theta_k$ )
$\therefore a_{k+1}=\pi-2\alpha+2\theta_k$ ……(答)
$\therefore a_k+a_{k+1}=\left(\pi-2\theta_k\right)+\left(\pi-2\alpha+2\theta_k\right)=2\pi-2\alpha$ ……(答)
(ⅱ)
$\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_{k+2}\mathrm{A}_{k+3}$ の頂角は $\pi-2\theta_{k+2}=\pi-2\alpha+2\theta_{k+1}=\pi-2\theta_k$ となる． $\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$ の頂角を $\varphi_k$ と表せば， $\varphi_{k+2}=\varphi_k$ となる．よって， $n$ が奇数のとき，
$\varphi_2=\varphi_4=\cdots\cdots=\varphi_{n-1}=\varphi_{n+1}$
$\varphi_{n+1}=\varphi_1$ であり，かつ， $\varphi_1=\varphi_3=\cdots\cdots=\varphi_n$ であることを用いると，
$\varphi_1=\varphi_2=\varphi_3=\cdots\cdots=\varphi_{n-1}=\varphi_n$ となり，全ての頂角が等しいことが分かる．これは $\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$ ( $k=1,2,\cdots\cdots,n$ )は全て合同であることを表す．よって，底角も等しい．これより， $n$ 角形 $\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}\cdots\mathrm{A}_n$ は正 $n$ 角形であることが分かる．
証明終了．
(ⅲ)
前問と同様の議論を行えば， $n$ が偶数のとき， $\varphi_1=\varphi_3=\cdots\cdots=\varphi_{n-1}$ であり， $\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$ ( $k=1,3,\cdots\cdots,n-1$ )は全て合同であることが示せる．よって，これらの底角も等しく，つまり， $\theta_1=\theta_3=\cdots\cdots=\theta_{n-1}$ となる．
証明終了．
また，同様にして， $\theta_2=\theta_4=\cdots\cdots=\theta_n$ が示せる．
ところで， $\theta_1=\theta$ より， $\theta_2=\alpha-\theta_1=\alpha-\theta$ である．
$\therefore\varphi_1=\pi-2\theta,\varphi_2=\pi-2\alpha+2\theta$
$\therefore\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin{\varphi_1}=\frac{1}{2}\sin{\left(\pi-2\theta\right)}=\frac{1}{2}\sin{2\theta}$
$\therefore\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin{\varphi_2}=\frac{1}{2}\sin{\left(\pi-2\alpha+2\theta\right)}=\frac{1}{2}\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}$
$\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ と合同(つまり，同じ面積)な三角形は $\frac{n}{2}$ 個あり， $\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ と合同(つまり，同じ面積)な三角形も $\frac{n}{2}$ 個ある．
$\therefore S_n\left(\theta\right)=\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin{2\theta}+\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}\right\}$ ……(答)
(ⅳ)
$\alpha$ ： $\alpha=\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}$
最大値： $\frac{n}{2}\sin{\left(\frac{2\pi}{n}\right)}$
$\theta$ の値： $\theta=\frac{n-1}{2n}\pi$

解説

(1)

上図より，長方形 $\mathrm{ABCD}=2\times\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{\left(\pi-2x\right)}+2\times\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{2x}=2\sin{2x}$ ……(答)
よって，長方形 $\mathrm{ABCD}$ が最大面積となるのは， $x=\frac{\pi}{4}$ のときで，そのとき2……(答)

(2)
(ⅳ)
$n$ 角形の内角の和は $\left(n-2\right)\pi$ である．内角は $n$ 個あるので，
$\alpha=\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}$ ……(答)
よって，途中で和積の公式を用いれば，
$S_n\left(\theta\right)=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}\right\}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{2\left(\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}-\theta\right)}\right\}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{\left(2\pi-\frac{4\pi}{n}-2\theta\right)}\right\}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}-\sin{2\left(\frac{2\pi}{n}+\theta\right)}\right\}=\frac{n}{2}\cos{\left(\frac{\pi}{n}+2\theta\right)}\sin{\left(-\frac{2\pi}{n}\right)}=-\frac{n}{2}\cos{\left(\frac{\pi}{n}+2\theta\right)}\sin{\left(\frac{2\pi}{n}\right)}$
となる．よって， $S_n\left(\theta\right)$ が最大となる $\theta$ の条件は，
$\cos{\left(\frac{\pi}{n}+2\theta\right)}=-1$
となるとき． $\frac{\pi}{n}<\frac{\pi}{n}+2\theta<\frac{\pi}{n}+\pi$ より，上式を満たすのは，
$\frac{\pi}{n}+2\theta=\pi\Leftrightarrow\theta=\frac{n-1}{2n}\pi$ のとき．……(答)
そのとき， $S_n\left(\theta\right)=\frac{n}{2}\sin{\left(\frac{2\pi}{n}\right)}$ ……(答)