偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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早稲田政治経済2016

2016年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究 大問4

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)
基本的な問題であるため特筆事項なし.

(2)
(ⅰ)本問は,「弧の長さ」を「角度」を用いて表せという問題である.この長さと角度といえば弧度法であるため,弧度法の関係式から考える.
(ⅱ)正n角形ということで,a_kやそれに比例している頂角が全て等しくなることを考える.a_ka_{k+1}は前問で求めたので,試しにa_{k+2}を求めてみて挙動を確認する.すると,a_{k+2}=a_kが分かり解法を得る.
(ⅲ)前問と同じ方針で解ける.
(ⅳ)内角1個に関する公式はないため,代わりに内角の和の公式から考える.\alphanの式で表せてしまえば,後は前問の結果をnに変形するだけである.

解答例

(1)
ア:2\sin{2x}
イ:\frac{\pi}{4}
ウ:2

(2)
(ⅰ)
\mathrm{O}の半径は1のため,a_kの長さと\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}の頂角の角度(弧度法)は一致する.
\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}の頂角は\pi-2\theta_k
\therefore a_k=\pi-2\theta_k……(答)
\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_{k+1}\mathrm{A}_{k+2}の頂角は\pi-2\theta_{k+1}=\pi-2\alpha+2\theta_k(\because\theta_{k+1}=\alpha-\theta_k)
\therefore a_{k+1}=\pi-2\alpha+2\theta_k……(答)
\therefore a_k+a_{k+1}=\left(\pi-2\theta_k\right)+\left(\pi-2\alpha+2\theta_k\right)=2\pi-2\alpha……(答)
(ⅱ)
\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_{k+2}\mathrm{A}_{k+3}の頂角は\pi-2\theta_{k+2}=\pi-2\alpha+2\theta_{k+1}=\pi-2\theta_kとなる.\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}の頂角を\varphi_kと表せば,\varphi_{k+2}=\varphi_kとなる.よって,nが奇数のとき,
\varphi_2=\varphi_4=\cdots\cdots=\varphi_{n-1}=\varphi_{n+1}
\varphi_{n+1}=\varphi_1であり,かつ,\varphi_1=\varphi_3=\cdots\cdots=\varphi_nであることを用いると,
\varphi_1=\varphi_2=\varphi_3=\cdots\cdots=\varphi_{n-1}=\varphi_nとなり,全ての頂角が等しいことが分かる.これは\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}(k=1,2,\cdots\cdots,n)は全て合同であることを表す.よって,底角も等しい.これより,n角形\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}\cdots\mathrm{A}_nは正n角形であることが分かる.
証明終了.
(ⅲ)
前問と同様の議論を行えば,nが偶数のとき,\varphi_1=\varphi_3=\cdots\cdots=\varphi_{n-1}であり,\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}(k=1,3,\cdots\cdots,n-1)は全て合同であることが示せる.よって,これらの底角も等しく,つまり,\theta_1=\theta_3=\cdots\cdots=\theta_{n-1}となる.
証明終了.
また,同様にして,\theta_2=\theta_4=\cdots\cdots=\theta_nが示せる.
ところで,\theta_1=\thetaより,\theta_2=\alpha-\theta_1=\alpha-\thetaである.
\therefore\varphi_1=\pi-2\theta,\varphi_2=\pi-2\alpha+2\theta
\therefore\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin{\varphi_1}=\frac{1}{2}\sin{\left(\pi-2\theta\right)}=\frac{1}{2}\sin{2\theta}
\therefore\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin{\varphi_2}=\frac{1}{2}\sin{\left(\pi-2\alpha+2\theta\right)}=\frac{1}{2}\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}
\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2と合同(つまり,同じ面積)な三角形は\frac{n}{2}個あり,\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3と合同(つまり,同じ面積)な三角形も\frac{n}{2}個ある.
\therefore S_n\left(\theta\right)=\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin{2\theta}+\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}\right\}……(答)
(ⅳ)
\alpha\alpha=\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}
最大値:\frac{n}{2}\sin{\left(\frac{2\pi}{n}\right)}
\thetaの値:\theta=\frac{n-1}{2n}\pi

解説

(1)

上図より,長方形\mathrm{ABCD}=2\times\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{\left(\pi-2x\right)}+2\times\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{2x}=2\sin{2x}……(答)
よって,長方形\mathrm{ABCD}が最大面積となるのは,x=\frac{\pi}{4}のときで,そのとき2……(答)

(2)
(ⅳ)
n角形の内角の和は\left(n-2\right)\piである.内角はn個あるので,
\alpha=\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}……(答)
よって,途中で和積の公式を用いれば,
S_n\left(\theta\right)=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}\right\}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{2\left(\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}-\theta\right)}\right\}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{\left(2\pi-\frac{4\pi}{n}-2\theta\right)}\right\}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}-\sin{2\left(\frac{2\pi}{n}+\theta\right)}\right\}=\frac{n}{2}\cos{\left(\frac{\pi}{n}+2\theta\right)}\sin{\left(-\frac{2\pi}{n}\right)}=-\frac{n}{2}\cos{\left(\frac{\pi}{n}+2\theta\right)}\sin{\left(\frac{2\pi}{n}\right)}
となる.よって,S_n\left(\theta\right)が最大となる\thetaの条件は,
\cos{\left(\frac{\pi}{n}+2\theta\right)}=-1
となるとき.\frac{\pi}{n}<\frac{\pi}{n}+2\theta<\frac{\pi}{n}+\piより,上式を満たすのは,
\frac{\pi}{n}+2\theta=\pi\Leftrightarrow\theta=\frac{n-1}{2n}\piのとき.……(答)
そのとき,S_n\left(\theta\right)=\frac{n}{2}\sin{\left(\frac{2\pi}{n}\right)}……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。