偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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早稲田政治経済2016

2016年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究 大問3

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)
基本的な問題であるため特筆事項なし.

(2)
前問では1+\log_{\sqrt x}{\left(n^2\right)}<\log_n{\sqrt x}の考察をしたので,本問では\log_n{\sqrt x}<\frac{1}{2}\left(1+\log_{\sqrt n}{3}\right)について考察すれば必要十分だと判断する.そしてそれは前問と同じように処理すればよい.
後は2つの考察結果を連立して考えれば,解答が得られる.

解答例

(1)
ア:4
イ:\frac{1}{2}
ウ:-2
エ:0
オ:4
(2)\left(n,x\right)=\left(2,17\right)

解説

(1)
1+\log_{\sqrt x}{\left(n^2\right)}=1+\frac{\log_n{\left(n^2\right)}}{\log_n{\sqrt x}}=1+\frac{2}{\frac{1}{2}\log_n{x}}=1+\frac{4}{t}……(答)
\log_n{\sqrt x}=\frac{1}{2}\log_n{x}=\frac{1}{2}t……(答)
よって,
1+\log_{\sqrt x}{\left(n^2\right)}<\log_n{\sqrt x}\Leftrightarrow1+\frac{4}{t}<\frac{1}{2}t\Leftrightarrow \begin{cases} t>0 \\ 0<t^2-2t+8=\left(t-4\right)\left(t+2\right) \end{cases}または\begin{cases} t<0 \\ 0>t^2-2t+8=\left(t-4\right)\left(t+2\right) \end{cases}\Leftrightarrow t>4,-2<t<0
よって,-2<t<4……(答)

(2)
底の条件より,n\geqq2x\geqq2である.
\frac{1}{2}\left(1+\log_{\sqrt n}{3}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\log_n{3}}{\log_n{\sqrt n}}\right)=\frac{1}{2}\left(1+2\log_n{3}\right)
\therefore\log_n{\sqrt x}<\frac{1}{2}\left(1+\log_{\sqrt n}{3}\right)\Leftrightarrow\log_n{x}<1+2\log_n{3}\Leftrightarrow\log_n{\frac{x}{9}}<1
\therefore x<9n
また,1+\log_{\sqrt x}{\left(n^2\right)}<\log_n{\sqrt x}が成り立つには,前問の結果より,
-2<t<4\Leftrightarrow-2<\log_n{x}<4\Leftrightarrow n^{-2}<x<1または4^n<x
が成り立てば必要十分.ここで,x\geqq2より,4^n<xのみ可.
\begin{cases} x<9n \\ 4^n<x \end{cases}\Leftrightarrow4^n<x<9n
を満たすのは,n\geqq2の範囲ではn=2のみであり,そのときx=17のみ可.
\therefore\left(n,x\right)=\left(2,17\right)……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。