偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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早稲田政治経済2016

2016年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問2

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)空間座標系の問題になっているため,ベクトルで考える.次に文字を置くが,「求めるものを文字で置く」という数学の鉄則に従って線分\mathrm{QR}の長さを文字でおいてはうまくいかない.なぜなら,座標の情報から長さの情報は引き出せるが,その逆(長さの情報から座標の情報を引き出すこと)は難しいからである.さらに今回の場合,(独立)変数は点\mathrm{R}のため,点\mathrm{R}の座標を文字で置くのが良いと判断する.

(2)前問の議論から線分\mathrm{QH}の長さ(h)はすぐに分かるため,h\geqq1という条件はすぐに書き下すことができる.後はこれを変形してxを登場させればよい.

(3)前問と同様hの表式が分かっているため,これを変形していけばよい.

解答例

(1)
\mathrm{R}\left(X,Y\right)とする.r=\sqrt{X^2+Y^2}である.
線分\mathrm{PR}上の点は,\left(x,y,z\right)=\left(0,0,2\right)+k\left(X,Y,-2\right)=\left(kX,kY,2-2k\right) (0\leqq k\leqq1) と表せる.
\mathrm{Q}は線分\mathrm{PR}と球面\mathrm{S}の交点であるから,\left(kX,kY,2-2k\right)を球面\mathrm{S}の方程式:x^2+y^2+\left(z-1\right)^2=1に代入して,
\left(kX\right)^2+\left(kY\right)^2+\left(1-2k\right)^2=1\Leftrightarrow k\left\{\left(4+r^2\right)k-4\right\}=0
\therefore k=0,\frac{4}{4+r^2}
k=0は点\mathrm{P}を表す.よって,点\mathrm{Q}k=\frac{4}{4+r^2}のときで,\mathrm{Q}\left(\frac{4}{4+r^2}X,\frac{4}{4+r^2}Y,\frac{2r^2}{4+r^2}\right)と分かる.
\mathrm{QR}=\sqrt{\left(\frac{4}{4+r^2}X-X\right)^2+\left(\frac{4}{4+r^2}Y-Y\right)^2+\left(\frac{2r^2}{4+r^2}\right)^2}=\frac{r^2}{4+r^2}\sqrt{X^2+Y^2+4}=\frac{r^2}{4+r^2}\sqrt{r^2+4}=\frac{r^2}{\sqrt{4+r^2}}……(答)

(2)
h=\frac{2r^2}{4+r^2}である.
h\geqq1である場合,\frac{2r^2}{4+r^2}\geqq1r\geqq0と合わせると2\leqq r
\therefore2\leqq\sqrt{x^2+y^2}
ここで,点\mathrm{R}\mathrm{C}上の点であることから,y=x^2-2を満たすことを用いれば,
\therefore4\leqq x^2+y^2\Leftrightarrow0\leqq y^2+y-2\Leftrightarrow0\leqq\left(y+2\right)\left(y-1\right)\Leftrightarrow y\leqq-2,1\leqq y\Leftrightarrow x^2-2\leqq-2,1\leqq x^2-2\bigm\Leftrightarrow x\leqq-\sqrt3,x=0,\sqrt3\leqq x
よって,x\leqq-\sqrt3,x=0,\sqrt3\leqq x……(答)

(3)
h=\frac{2r^2}{4+r^2}=2-\frac{8}{4+r^2}
4+r^2=4+X^2+Y^2=Y^2+Y+6=\left(Y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}\geqq\frac{23}{4}
等号成立はY=-\frac{1}{2}のときであり,そのとき,X=\pm\frac{\sqrt6}{2}
よって,求める座標は,
\mathrm{R}\left(\pm\frac{\sqrt6}{2},-\frac{1}{2},0\right)……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。