方針の立て方

(1)特筆事項なし．
(2)(3)領域が指定されている上での最大最小問題であるため，線形計画法で考える．

解答例

(1) $\left(a,a+b\right)$ と $\left(a+b,b\right)$
(2) $\sqrt{2a^2+2ab+b^2}$
(3) $\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

解説

(1)
上図のように補助線を引いて考えれば，求める座標は， $\left(a,a+b\right)$ と $\left(a+b,b\right)$ ……(答)

(2)
線形計画法の考え方を用いれば，最大値を取るときの $P$ は(1)で求めた2点の内のいずれかだと分かる．
原点と $\left(a,a+b\right)$ との距離は $\sqrt{a^2+\left(a+b\right)^2}$
原点と $\left(a+b,b\right)$ との距離は $\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}$
$a>b$ より， $\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}<\sqrt{a^2+\left(a+b\right)^2}$ となる．
よって，求める最大値は，
$\sqrt{a^2+\left(a+b\right)^2}=\sqrt{2a^2+2ab+b^2}$ ･･････(答)

(3)
点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AB}$ 上にあり，かつ $\mathrm{OP}$ と $\mathrm{AB}$ が直交するとき，線分 $\mathrm{OP}$ の長さは最小となる．
直線 $\mathrm{AB}$ の式は $y=-\frac{a}{b}x+a$ であるから，直線 $\mathrm{OP}$ の式は $y=\frac{b}{a}x$ となる．
よって，直線 $\mathrm{AB}$ と直線 $\mathrm{OP}$ の交点は $\left(\frac{a^2b}{a^2+b^2},\frac{{ab}^2}{a^2+b^2}\right)$ である．
よって，求める最小値は，
$\sqrt{\left(\frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{{ab}^2}{a^2+b^2}\right)^2}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ……(答)