方針の立て方

(1)
特筆事項なし．

(2)
$c$ は答えには使えないため，何とかして $c$ を消去せねばならないと考える． $C_2$ に関する情報は，「点 $\mathrm{P}$ を通る」だけのため，これを使えばよい．

(3)
前問と同様である．

(4)
最終的な答えは $a$ に関するものなので， $\alpha,\beta$ は途中で $a,b$ に戻すと考える．後は素直に $S_1$ と $S_2$ を計算して，代入すれば解答にたどり着く．

解答例

(1) $\mathrm{P}\left(1,2\right)$
(2) $\alpha=\frac{1-a-b}{a-1}$
(3) $\beta=\frac{2-a-b}{a}$
(4)
$\alpha=\frac{1-a-b}{a-1}=-1+\frac{b}{1-a}<0$
$\therefore S_1=\int_{\alpha}^{1}\left\{\left(ax^2+bx+2-a-b\right)-\left(x^2+1\right)\right\}dx=\int_{\alpha}^{1}\left\{\left(a-1\right)x^2+bx+1-a-b\right\}dx=\frac{\left|a-1\right|}{6}\left(1-\alpha\right)^3=\frac{1-a}{6}\left(\frac{2a+b-2}{a-1}\right)^3=\frac{\left(2-2a-b\right)^3}{6\left(a-1\right)^2}$
$\beta=\frac{2-a-b}{a}=-1+\frac{2-b}{a}<0$
$\therefore S_2=\int_{\beta}^{1}\left\{\left(ax^2+bx+2-a-b\right)-2x\right\}dx=\int_{\beta}^{1}\left\{ax^2+\left(b-2\right)x+2-a-b\right\}dx=\frac{\left|a\right|}{6}\left(1-\beta\right)^3=-\frac{a}{6}\left(\frac{2a+b-2}{a}\right)^3=\frac{\left(2-2a-b\right)^3}{6a^2}$
$\therefore S_1\colon S_2=\frac{\left(2-2a-b\right)^3}{6\left(a-1\right)^2}\colon\frac{\left(2-2a-b\right)^3}{6a^2}=a^2\colon\left(a-1\right)^2$
$\therefore S_1\colon S_2=1\colon2\Longleftrightarrow a^2\colon\left(a-1\right)^2=1\colon2\Leftrightarrow2a^2=\left(a-1\right)^2\Leftrightarrow a^2+2a-1=0$
$\therefore a=-1\pm\sqrt2$ となるが， $a<0$ より， $a=-1-\sqrt2$ ……(答)

解説

(1)
$\begin{cases} C_1\colon y=x^2+1 \\ l\colon y=2x \end{cases}$
$\therefore2x=x^2+1\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0$
$\therefore x=1$
$\therefore y=2$
よって， $\mathrm{P}\left(1,2\right)$ ……(答)

(2)
$C_2$ は点 $\mathrm{P}$ を通るので， $\mathrm{P}\left(1,2\right)$ を $C_2$ の式に代入して，
$2=a+b+c\Leftrightarrow c=2-a-b$
$\begin{cases} C_1\colon y=x^2+1 \\ C_2\colon y=ax^2+bx+2-a-b \end{cases}$
$\therefore x^2+1=ax^2+bx+2-a-b\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left\{\left(a-1\right)x+a+b-1\right\}=0$
$x=1$ は点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標であることを考慮すると， $\alpha=\frac{1-a-b}{a-1}$ ……(答)

(3)
$\begin{cases} C_2\colon y=ax^2+bx+2-a-b \\ l\colon y=2x \end{cases}$
$\therefore ax^2+bx+2-a-b=2x\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(ax+a+b-2\right)=0$
$x=1$ は点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標であることを考慮すると， $\beta=\frac{2-a-b}{a}$ ……(答)