偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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早稲田理工2017

2017年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究 大問3

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)
特筆事項なし.

(2)
cは答えには使えないため,何とかしてcを消去せねばならないと考える.C_2に関する情報は,「点\mathrm{P}を通る」だけのため,これを使えばよい.

(3)
前問と同様である.

(4)
最終的な答えはaに関するものなので,\alpha,\betaは途中でa,bに戻すと考える.後は素直にS_1S_2を計算して,代入すれば解答にたどり着く.

解答例

(1)\mathrm{P}\left(1,2\right)
(2)\alpha=\frac{1-a-b}{a-1}
(3)\beta=\frac{2-a-b}{a}
(4)
\alpha=\frac{1-a-b}{a-1}=-1+\frac{b}{1-a}<0
\therefore S_1=\int_{\alpha}^{1}\left\{\left(ax^2+bx+2-a-b\right)-\left(x^2+1\right)\right\}dx=\int_{\alpha}^{1}\left\{\left(a-1\right)x^2+bx+1-a-b\right\}dx=\frac{\left|a-1\right|}{6}\left(1-\alpha\right)^3=\frac{1-a}{6}\left(\frac{2a+b-2}{a-1}\right)^3=\frac{\left(2-2a-b\right)^3}{6\left(a-1\right)^2}
\beta=\frac{2-a-b}{a}=-1+\frac{2-b}{a}<0
\therefore S_2=\int_{\beta}^{1}\left\{\left(ax^2+bx+2-a-b\right)-2x\right\}dx=\int_{\beta}^{1}\left\{ax^2+\left(b-2\right)x+2-a-b\right\}dx=\frac{\left|a\right|}{6}\left(1-\beta\right)^3=-\frac{a}{6}\left(\frac{2a+b-2}{a}\right)^3=\frac{\left(2-2a-b\right)^3}{6a^2}
\therefore S_1\colon S_2=\frac{\left(2-2a-b\right)^3}{6\left(a-1\right)^2}\colon\frac{\left(2-2a-b\right)^3}{6a^2}=a^2\colon\left(a-1\right)^2
\therefore S_1\colon S_2=1\colon2\Longleftrightarrow a^2\colon\left(a-1\right)^2=1\colon2\Leftrightarrow2a^2=\left(a-1\right)^2\Leftrightarrow a^2+2a-1=0
\therefore a=-1\pm\sqrt2となるが,a<0より,a=-1-\sqrt2……(答)

解説

(1)
\begin{cases} C_1\colon y=x^2+1 \\ l\colon y=2x \end{cases}
\therefore2x=x^2+1\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0
\therefore x=1
\therefore y=2
よって,\mathrm{P}\left(1,2\right)……(答)

(2)
C_2は点\mathrm{P}を通るので,\mathrm{P}\left(1,2\right)C_2の式に代入して,
2=a+b+c\Leftrightarrow c=2-a-b
\begin{cases} C_1\colon y=x^2+1 \\ C_2\colon y=ax^2+bx+2-a-b \end{cases}
\therefore x^2+1=ax^2+bx+2-a-b\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left\{\left(a-1\right)x+a+b-1\right\}=0
x=1は点\mathrm{P}x座標であることを考慮すると,\alpha=\frac{1-a-b}{a-1}……(答)

(3)
\begin{cases} C_2\colon y=ax^2+bx+2-a-b \\ l\colon y=2x \end{cases}
\therefore ax^2+bx+2-a-b=2x\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(ax+a+b-2\right)=0
x=1は点\mathrm{P}x座標であることを考慮すると,\beta=\frac{2-a-b}{a}……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。