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【数学】直線のいろは

今回は文理問わず、多くの大学で出題される座標について考えてみます。

まずは直線について簡単な知識のcheckしていきます。

まず直線の方程式は傾きm,y切片がkのとき、さらに右図のように,y切片がkのとき,

y=mx+k ・・・(*)で表せるのは有名です。

さらに図1のようにy=tanθ・x+kも知っているでしょう。

これは入試では頻出です。

さて、点P(p,q)を通り、\overrightarrow{M}=\left( \begin{array}{cc} a\\ b\\ \end{array} \right)に垂直な直線の方程式lはl上の点をX(x,y)として

\overrightarrow{M}\cdot \overrightarrow{PX}=0

 \rightleftharpoons\left( \begin{array}{cc} a\\ b\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} x-p\\ y-q\\ \end{array} \right)=0

 \rightleftharpoons a(x-p)+b(y-q)=0

 \rightleftharpoons ax+by-(ap-bq)=0

ax+bq+c=0 (c=-ap-bq)

として表されます。

図1

次に2直線について考えてみましょう。

l1:a1x+b1y+c1=0, l2:a2x+b2y+c2=0で、

  • (l1l2が平行)\rightleftharpoons(傾きが同じ)\rightleftharpoons(- \frac{a_{1} }{b_{1} } =-\frac{a_{2} }{b_{2} } \rightleftharpoons a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0)・・・(ア)

(b1=0のときb=0)

  • (l1l2が垂直)\rightleftharpoons\left( \begin{array}{cc} a_{1}\\ b_{1}\\ \end{array} \right) x\bot \left(\begin{array}{cc} a_{2}\\ b_{2}\\ \end{array} \right)\rightleftharpoons\left( \begin{array}{cc} a_{1}\\ b_{1}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a_{2}\\ b_{2}\\ \end{array}\right)\rightleftharpoons a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0・・・(イ)

が条件となります。

皆さんは、点と直線の距離の公式ということで、

ことはよく知っているでしょう。2013年度の大阪大学の文系でこの証明が問われたので証明を与えておきます。

[証明]

Pからlに降ろした垂線の足をHとする。

先ほどの結果を逆に使うと、

ax+by+c=0の法線ベクトル\overrightarrow{e}は、

\overrightarrow{e}=\left( \begin{array}{cc}a\\ b\\ \end{array}\right)である。

\overrightarrow{HP}=k\overrightarrow{e}(k:定数)

\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PH}=\left( \begin{array}{cc} p\\ q\\ \end{array} \right)+k\left( \begin{array}{cc} a\\ b\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} p+ak\\ q+bk\\ \end{array} \right)

Hはl上の点なので、a(p+p+ak)+b(q+bk)+c=0

\rightleftharpoons k=- \frac{ap+bq+c}{a^2+b^2}

d=|\overrightarrow{HP}|=|k||\overrightarrow{e}|=\frac{|ap+bq+c|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} (証明終)

直線についての知識はこれくらいで良いでしょう。

今回は基本的な問題にあたり、直線の理解を深めて行きましょう。


(1)(ア)より、a+1+(a-2)=0  ・・・(答)

(2)(イ)より、3(a+1)+(-2)(a-2)=0 ・・・(答)

(3)「aの値によらない」\rightleftharpoons「どのようなaの値を代入してもlの式が成り立つ」なので、l\rightleftharpoons(x+y-5)a+x-2y+4=0・・・(イ)

a=0を代入して、x-2y+4=0,a=1を代入すると、(x+y-5)+(x-2y+4)=0

\begin{cases} x-2y+4=0 \\x+y-5=0\end{cases} ・・・(ロ)が必要だが、逆に(ロ)が成り立つとき、(イ)が成り立つので十分。

∴ (ロ)を解いて、(p,q)=(3,2)・・・(答)

結局(3)ではaの恒等式を解いたことになります。


tanθ=\frac{b}{a}という知識があればすらっと解けます。

図2の様な三角柱を設定する。

南北方向の勾配はtanφ=\frac{1}{5}と右図のようにしても一般性を失わない。南北⊥東西なので、底面について考えると、図3のようになるから、x=PBを求めればよい。

二角相等より、△APDと△PBCは相似なので、

PD:AP=BC:PB

\rightleftharpoons4:5=3:x

\rightleftharpoons x=\frac{15}{4}

∴(東西方向の勾配)=\frac{1}{x}=\frac{4}{15}・・・(答)

図2                                                              図3

 

■空間となると、ギョっとひるんでしまう人がいますが、平面と大してやることは変わりません。傾きをtanで捉える重要性が分かって頂けましたかね?

最後に少し考えにくい問題をおいてみます。

直線の傾きがa…y=axと考えたくなりますがそれではyの値が整数となる時がよくわかりません。y=1になるのはx=1/a1のときですからこの後は(傾き)=asで動きます。

y=2となるのはx=\frac{1}{as}の時…と考えて行くと…

 

(解)

y=1、2、・・・nとなる点をP1,P2,・・・Pnとして、

各々に対応するxの値をx1,x2・・・xnとする。(図4)

(傾きPkPk-1)=ask-1(2≦k≦n)

であるから、x_{k}-x_{k-1}=\frac{1}{as^{k-1}}である。

いま0〜xnまでのx座標の和Sn

S_{n}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{as}+\cdots+\frac{1}{as^{k-1}})\\= \sum_{k=0}^{n-1} \big( \frac{1}{s} \big) ^{k}\\=\frac{1}{a}\cdot\frac{1-\big( \frac{1}{s} \big)^{n}}{1-\frac{1}{s}}=\frac{s}{a(s-1)}\big\{1-(\frac{1}{s})^{n}\big\}

図4

◯1≦1/s⇔0<s<1のとき

(|frac{1}{s})^{n} \rightarrow \infty であるからSnは無限に大きくなる。

よってx=b(>0)を必ず横切る。

◯0<1/s<1⇔1<sのとき

\lim_{ n \rightarrow \infty} S_{n} = \frac{S}{a(s-1)}であるから、x=bを横切るには

\frac{s}{a(s-1)}>b\Longleftrightarrow \frac{1}{ab}>\frac{s-1}{s}\Longleftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{s}>1が必要。

∴求める条件は「0<s≦1もしくは1<sかつ\frac{1}{ab}+\frac{1}{s}>1

■状況ごとで傾きをうまく使えるようになると良いですね。

今回は問われているのが、”x座標について”なのでx座標について考えてみました。


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