偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應環境情報2017未分類

2017年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究 大問4

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
(1)
具体的に題意を満たす場合を考えれば解答が得られる.

(2)
前問の解法を応用する.前問では,参加者の賞金額が0円,1円となるときを考え足し合わせたので,本問では,0円,1円,2円,……,c円を考え総和を取ればよい.あとは,その確率が0.5以上となるときを解析すれば解答にたどりつく.

(3)
期待値の定義に従って期待値を求めていく.4\cdot{0.8}^{100}という具体的に数値を書き下すのは現実的に困難な値があるが,解答で求められているのが小数第1位までのため厳密な数値は必要ないと判断する.本解説ではその件を丁寧に論述したが,本番では途中経過は求められないため,直観的に{0.8}^{100}は殆ど無視できると考え,4.0と即答してもよいだろう.

解答例
(57)(58)(59)……0.36
(60)(61)……03
(62)(63)(64)……04.0

解説
コインで裏が出る確率は1-0.8=0.2
(1)
・参加者の賞金額が0円となる確率
1回目で裏が出れば必要十分……0.2
・参加者の賞金額が1円となる確率
1回目で表を出し,2回目で裏が出れば必要十分……0.2\times0.8=0.16
よって,求める確率は,
0.2+0.16=0.36……(答)

(2)
求めるcは100ではない.よって,以下では0\leqq c\leqq99の範囲で考える.
参加者の賞金額がn円(0\leqq n\leqq99)となる確率は,n回目まで表を出し,n+1回目で裏が出す確率と等しく,0.2\times{0.8}^n
よって,賞金額がc円(0\leqq c\leqq99)以下となる確率は,
\sum_{n=0}^{c}\left(0.2\times{0.8}^n\right)=\frac{0.2\left(1-{0.8}^{c+1}\right)}{1-0.8}=1-{0.8}^{c+1}
これが0.5以上となるのは,1-{0.8}^{c+1}\geqq0.5\Leftrightarrow0.5\geqq{0.8}^{c+1}
{0.8}^3=0.512,{0.8}^4=0.4096より,上記不等式を満たす最小のcは,c+1=4\Leftrightarrow c=3……(答)

(3)
参加者の賞金額が100円となる確率は100回表を出す確率と等しく{0.8}^{100}
よって,期待値は,
\sum_{n=0}^{99}{n\cdot\left(0.2\times{0.8}^n\right)}+100\cdot{0.8}^{100}=0.2\times\sum_{n=0}^{99}{n\cdot{0.8}^n}+100\cdot{0.8}^{100}
ここで,
\sum_{n=0}^{99}{n\cdot{0.8}^n}=1\cdot0.8+2\cdot{0.8}^2+3\cdot{0.8}^3+\cdots\cdots+99\cdot{0.8}^{99}
0.8\times\sum_{n=0}^{99}{n\cdot{0.8}^n}=1\cdot{0.8}^2+2\cdot{0.8}^3+3\cdot{0.8}^4+\cdots\cdots+99\cdot{0.8}^{100}
より,両辺を引き算すると,
0.2\times\sum_{n=0}^{99}{n\cdot{0.8}^n}=\left(0.8+{0.8}^2+{0.8}^3+{0.8}^4+\cdots\cdots+{0.8}^{99}\right)-99\cdot{0.8}^{100}=\frac{0.8\left(1-{0.8}^{99}\right)}{1-0.8}-99\cdot{0.8}^{100}=4-104\cdot{0.8}^{100}
よって,期待値は,
4-104\cdot{0.8}^{100}+100\cdot{0.8}^{100}=4-4\cdot{0.8}^{100}
となる.これの小数点第2位以下を四捨五入するために4\cdot{0.8}^{100}の値について考える.
まず,{0.8}^4=0.4096<\frac{1}{2}より{0.8}^{100}<\left(\frac{1}{2}\right)^{25}
さらに,\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}<\frac{1}{1000}={10}^{-3}より,{0.8}^{100}<\left(\frac{1}{2}\right)^{25}<\left(\frac{1}{2}\right)^{20}<{10}^{-6}となる.
\therefore4-4\times{10}^{-6}<4-4\cdot{0.8}^{100}<4
以上より,期待値の小数点第2位以下を四捨五入すると,4.0……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。