偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應環境情報2017未分類

2017年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究 大問3

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
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方針の立て方
dの範囲((31)~(34))については,dが図形的にどのような意味を持つのかを考えることで解法を得る.図形と方程式の問題では,数式を図形に,或いは図形を数式に直して考えることが重要である.
長方形\mathrm{ABCD}の面積とその最大値((35)~(56))については典型的な問題であるため,特筆事項なし.

解答例
(31)(32)(33)(34)……\frac{-1}{08}
(35)(36)(37)……008
(38)(39)(40)……-15
(41)(42)(43)……006
(44)(45)(46)……001
(47)(48)(49)(50)……\frac{01}{04}
(51)(52)……03
(53)(54)……03
(55)(56)……04

解説
dの範囲((31)~(34)について)
dは線分\mathrm{BC}の切片に当たる.線分\mathrm{BC}の切片の下限は,直線\mathrm{BC}が放物線y=\frac{1}{2}x^2の接線となるとき.
y=\frac{1}{2}x^2\Rightarrow y^\prime=xより,直線\mathrm{BC}が放物線y=\frac{1}{2}x^2の接線となるとき,接点は\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{8}\right)となる.このとき直線\mathrm{BC}の切片d_{inf}は,
\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+d_{inf}\Leftrightarrow d_{inf}=-\frac{1}{8}
\therefore-\frac{1}{8}<d<1……(答)

〇長方形\mathrm{ABCD}の面積((35)~(46)について)
y=\frac{1}{2}x+dy=\frac{1}{2}x^2の交点\mathrm{B}\mathrm{C}の座標は,\mathrm{B}\left(\frac{1-\sqrt{1+8d}}{2},\frac{1+4d-\sqrt{1+8d}}{4}\right)\mathrm{C}\left(\frac{1+\sqrt{1+8d}}{2},\frac{1+4d+\sqrt{1+8d}}{4}\right)
\therefore\mathrm{BC}=\sqrt{\left(\frac{1+\sqrt{1+8d}}{2}-\frac{1-\sqrt{1+8d}}{2}\right)^2+\left(\frac{1+4d+\sqrt{1+8d}}{4}-\frac{1+4d-\sqrt{1+8d}}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{5\left(1+8d\right)}}{2}
線分\mathrm{AB}の長さは,線分\mathrm{AB}が直線y=\frac{1}{2}x+1と直交することより,点\mathrm{B}と直線y=\frac{1}{2}x+1との距離に等しい.-\frac{1}{8}<d<1より,0<1-dであることに注意すると,
\mathrm{AB}=\frac{\left|-\frac{1-\sqrt{1+8d}}{2}+2\cdot\frac{1+4d-\sqrt{1+8d}}{4}-2\right|}{\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2}}=\frac{2\left(1-d\right)}{\sqrt5}
よって,求める面積は,
\frac{\sqrt{5\left(1+8d\right)}}{2}\cdot\frac{2\left(1-d\right)}{\sqrt5}=\sqrt{8d^3-15d^2+6d+1}……(答)

〇長方形\mathrm{ABCD}の面積の最大値((47)~(56)について)
f\left(d\right)=8d^3-15d^2+6d+1とおくと,f^\prime\left(d\right)=24d^2-30d+6=6\left(4d-1\right)\left(d-1\right)となる.
増減表を描くと,

d -\frac{1}{8} \cdots \frac{1}{4} \cdots 1
f^\prime\left(d\right) + + 0 - 0
f\left(d\right) \nearrow \nearrow \frac{27}{16} \searrow \qquad

よって,長方形\mathrm{ABCD}の面積はd=\frac{1}{4}のときに,最大値\sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt3}{4}となる.……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。