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早稲田大学国際教養学部【数学】 | 本番で圧勝の徹底対策シリーズ

早稲田大学国際教養学部

入試難易度:ico_grade6_4  3.0

国際教養学部の数学は全問記述式の空所補充の問題です。
問題レベルは標準的です。


全体概観:配点50点 時間60分

例年大問は3問で、すべて記述式の空所補充形式になっています。

出題範囲・頻出分野

出題範囲は数学ⅠAⅡB(確率分布と統計的推測を除く)となっています。
頻出分野は全範囲が問題が幅広く出題されますが、ここ数年は数列、確率、三角関数が目立ちます。
難易度については基本~標準レベルの問題です。しかし、試験時間のわりに問題が多いので計算力と判断力が求められます。

対策

早稲田国際教養学部数学の問題を解いていくにあたって、どのように考えていくのが良いのかをお伝えしていきます。

基礎問題の演習

数学力を身につけることが大事となりますが、そのためには基本的な問題が解けるようになることが重要です。教科書の公式は確実に自分のものにしてください。公式の導出もよい練習になります。そして、国際教養学部の問題レベルは教科書にある例題や章末問題レベルなので、確実に教科書に載っている問題は解けるようにトレーニングをしておきましょう。

問題集の使い方

教科書の問題が解けるようになったら、標準的な受験参考書で解法などを身に着けていきましょう。基本~標準レベルの問題をたくさん解くことが大切です。とくに問題集などで演習するときは別解などもよく目を通しておきましょう。それによって答案作成のショートカットの手法も身に着けることができます。

記述式の対策

記述式の空所補充形式なので、正確に早く計算できるように、日ごろの勉強から意識することが大切になってきます。

問題例

2014年度 国際教養学部 大問3 (2),(3)

kokusaikyoyo

※玉は区別しています。
(2)14個の玉から6個の玉を取り出すとき全通りは
_{14} C _{6}=\frac{14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=3\cdot 7\cdot 11\cdot 13 通り

赤玉2つ、白玉4つの取り出し方は
_{8}C_{2}\cdot_{6}C_{4}=2^{2}\cdot 3\cdot 5\cdot 7通り
以上より求める確率を計算すると
\frac{_{8}C_{2}\cdot_{6}C_{4}}{_{14} C _{6}}=\frac{20}{143}
となります。

(3)
※玉は区別しています。
n個の玉から5個を取り出す総数は
_{n}C_{5}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}通り
赤玉3個、白玉2個の取り出し方は
_{n-7}C_{3}\cdot_{7}C_{2}=\frac{(n-7)(n-8)(n-9)}{3\cdot 2\cdot 1 }\cdot 21通り
よって確率は計算すると
P_{n}=\frac{_{n-7}C_{3}\cdot_{7}C_{2}}{_{n}C_{5}}=\frac{420(n-7)(n-8)(n-9)}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}
確率を最大にするという問題を解くときに、以下の方法を使うことがあると思います。この解法はぜひ押さえておきましょう。ポイントはP_{n+1}P_{n}の比を考えるという方法です。
\frac{P_{n+1}}{P_{n}}-1=\frac{420(n-7)(n-8)(n-9)}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}-1=\frac{-2n+33}{(n+1)(n+9)}・・・(*)
(*)をみると
10≦n≦16のとき、

\frac{P_{n+1}}{P_{n}} - 1> 0\therefore P_{n}<P_{n+1}

 
17≦nのとき、

\frac{P_{n+1}}{P_{n}}-1>0 \therefore P_{n}>P_{n+1}

これより以下の不等式が成り立ちます
P_{10}<P_{11}\cdots<P_{16}< P_{17} >P_{18}>P_{19}\cdots
となるのでP_{n}が最大になるnはn=17となります。
イメージとしては下図のような感じです。

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