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慶應義塾大学理工学部【数学】|本番で圧勝の徹底対策シリーズ

慶應義塾大学理工学部

入試難易度:ico_grade6_3h3.5

理工学部の数学は基本事項の使い方が大切になってきます。教科書に載っている基本事項を十分に活用できるようになる必要があります。それに合わせて、いろいろな問題演習を通じて、柔軟な思考力を養う必要もあります。


全体概観:配点150点 時間120分

例年大問は5題です。回答の大部分はマークシートで、一部記述式です。記述式の設問では、証明問題が毎年出題されます。
全て解き切るのは時間的に厳しいので、問題を解くのに必要な処理量や計算力、難易度を見極める力も重要です。

出題範囲・頻出分野

理工学部の数学は、数学Ⅰ・数学Ⅱ・数学Ⅲ・数学A・数学Bからの出題で、数学Aからは「場合の数と確率」・「整数の性質」・「図形の性質」、数学Bからは「数列・「ベクトル」が出題範囲となっています。

頻出分野は微積分で、例年2題以上出題されており、計算量が多いのが特徴です。
また、微積分以外では、数列・確率・ベクトル・三角関数など数Ⅰ・数A・数Bなどからもまんべんなく出題され、いくつかの単元にわたる融合問題の出題も見られます。
全体的に数学Ⅲの分野が頻出であり空間図形・確率漸化式など試験範囲が出せれているので、全分野の学習について念入りな学習が必要です。

日頃からどのように対策をしていくか

標準に留まらず、貪欲に!

早慶の理工というのは東大京大医学部受験生の滑り止めであるがためにハイレベルな戦いが強いられます。
その戦いではできるだけ数学で稼ぎたいと思う人は少なくないでしょう。
数学は才能が要るという人がいますが、才能やセンスの有無が問題になるのは大学や数学オリンピックのメダルくらいで、受験数学において才能は関係なく、しっかりと基礎を固め、演習量を積めば、誰でも解けるようになります。
基礎を固め、標準問題が解けるようになったからといって、数学の学びを止めず、旧帝の過去問を解いてみたりと、意欲的に学習して欲しいです。

基礎力の強化

数学力を身につけることが大事となりますが、そのためには基本的な問題が解けるようになることが重要です。1つ1つの分野、特に頻出範囲である微分・積分は重点的に学習しましょう。また、理工学部の数学の問題は計算量が多く、早く正確に解くことが求められます。マークシート方式では考え方が正しくても、計算ミスなどで正しい結果が出ない場合は得点ができないので、要領よくミスがないように正解を出せるように日ごろから計算するときも意識する必要があります。

自身の計算ミスの癖を理解する

慶應義塾大学理工学部の数学は、計算量が多いため、計算ミスをする可能性があります。上記したとおり、日頃から計算ミスをしない工夫をすることは当然ですが、自身がどういう部分で計算ミスが起こるのかを確認しておく必要があるでしょう。

実際の問題に慣れる

問題演習に慣れてきたら、実際に過去問に取り組みましょう。この際、本番通りの時間で解くことが大切です。
数学ではどの分野が何問目に出るかが分からないので、時間を測って問題演習をし、自分が解きやすいと思った問題から解き始めることが重要です。
大問前半の比較的易しい問題を確実に解答することで、得点を伸ばしていきましょう。
ただし、時間内に解けなかった問題もその後に問題演習として解くことも大事です。
時間内に解けなかった問題は必然的に苦手な問題であるため、苦手をつぶす意味でも解けなかった問題の復習をしましょう。
また理工学部の問題は空所補充の問題が多いので過去問や模擬試験を通じて形式になれることも大切です。

頻出分野は確実にできるようにしておく

▶微積
小問集合ないでも大問でも出題され、難易度はバラバラですが、手がつけられないような難問は出題されないので食らいついていきたいです。
微積が占める比重も大きいので、真っ先に固めたい分野です。
最初の敷居は高いですが、パターンが決まっているので一度得意にしてしまえば得点源にしやすいです。
また2014年度の大問5のように知っていれば瞬殺できる問題も出題されます。
「x軸、y軸で切り取られる線分の長さが常に1」といわれたら…「アステロイドじゃないか?!」とひらめけるようになれるとよいでしょう。

このように微積には色々と背景があったり、有名な問題が多いので一通り当たって知識を蓄えておくと有利に働くことが多いです。
普段問題を解きっぱなしにするのではなく、深く考察したり、背景を調べてみたりすると数学の勉強が楽しくなると思います。

▶場合の数・確率
慶應では理工、薬、医と場合の数・確率の出題が盛んで、花形と言われています。
特にn絡み、漸化式の出題が毎年のようになされています。
高校ではしっかりと扱わないからか苦手意識を持っている人も多いのですが、一度コツを掴んでしまえばスラスラできるようになります。
具体的にどう考えればいいのかはここでは扱いませんが、理工の場合は医の問題の難易度に慣れておくと本番完答できるでしょう。
また東大の過去問を解くのもおすすめです。

▶空間
2014〜2017と4年連続で空間、立体の問題が大問で出ています。
ほとんどが四面体絡みで難易度はそこまで高くないものの計算が鬼の年もあり、試験場で思ったとおり進まない人も少なくありません。
立体は「適切な断面で切って、平面で考える」というのが定石なのですが、本学は誘導が丁寧に与えられているため、そこの思考過程は問題ではありません。
なので基本的に誘導に乗るだけですが、ベクトルと空間座標の基礎は理解しておく必要があります。
そして計算が大変でも焦らず、地道に計算するクセを普段からつけておくと本番自身を持って解けます。
空間と書いてあるだけで飛ばす空間アレルギーの方がたまにいますが、本学のレベルなら落とせないので、まずは図を書き、丁寧に考えてみましょう。

圧勝する人はこう考える!

実際に問題を見て、問題を解くことができる人はどのように考えているのかを確認してください。
できない人は上記の法則を利用することができていません。
実際に過去問を用意して考えてみましょう。

まず、初級編の2014年度の大問4に取り掛かってみましょう。

空間で大事な知識をまずチェックして起きましょう!

■直線のパラメーター(媒介変数)表示

\overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b} は一次独立のベクトルとする。

※一次独立:簡単に言うと\overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b} が全く違う方向に向いているということです。

平面上の点(x)は任意の実数s,tを持ってくると

\overrightarrow{OX}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}・・・(*)

と表せます。

図1

(*)をs=1としたときにXは

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}

=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{b}・・・(☆)

でこれは図2のようにAを通りベクトル\overrightarrow{b} に平行な直線となります。

図2

逆にtがすべての実数を取るときに=s \overrightarrow{OX}の集合は直線l全体になります。

(☆)には図2のAを原点として、OBの長さ( \mid \overrightarrow{b} \mid)を1とする数直線を設定したときの目盛りを表すというイメージがわきます。

さて、

としても当てはまりますから(☆)を空間に拡張すると


図3

と表せます。(図3)すごく当たり前なのですが、(a,b,c),(p,q,r)が分かっていてどれかの座標成分に決定的な情報があればtを求めることで、直線上の点が分かります。
平面から空間へ次元が上がると難しく思うかもしれませんが、おこなうことはほとんど変わりません。
本問はこれさえしっかりおさえておけば解けます。
空間では図を書くことが肝心なので図をかきながら解いていくことにします。

(解)

◯0 < t ≦ 1のとき

なので、線分OA上にz=tを満たす点A’が存在する。\overrightarrow{OB} 上の点Xは実数pを用いてでz=3p=tより、\overrightarrow{OB} 上でz座標がtの点B’はと表せる。
以上を踏まえると、f(t)は図5のようにかけるので、f(t)=\frac{1}{3}t^{2}・・・(ソ)

図4

図5

◯1<t<3のとき

で線分OA上にz=tを満たす点が存在しなく、線分AB、AC、OCを共通にもつ。

直線AB、AC上に点Y、Zは実数q,rを用いて

・・・(タ)

1+2q=t、1+2r=tを満たすときq=r=\frac{t-1}{2}なのでこれを代入して

①、②を踏まえるとf(t)は図3のようにかけるので

f(t)=(t-1+\frac{2}{3}t)\frac{3-t}{2}\frac{1}{2}=\frac{1}{12}(5t-3)(3-t)・・・(チ)

 図6

以上から

g(t)=\int_t^1 \frac{1}{3}z^{2} dz +\int_1^t+2 \frac{1}{12}(5z-3)(3-z)dz・・・③

■ここで各々積分を実行したくなりますが、それは得策ではありません。
問題は、あとはg’(x)についてしかきいてませんから、③をそのまま微分すればよいです。

g(t)=\int_t^1 \frac{1}{3}z^{2} dz +\int_1^t+2 \frac{1}{12}(5z-3)(3-z)dz・・・③

g^{'}(t)=\frac{1}{3}t^{2}+\frac{1}{12}(5t+7)(1-t)

=g^{'}(t)=-\frac{1}{12}(9t^{2}+2t-7)・・・(ツ)

=g^{'}(t)=-\frac{1}{12}(t+1)(9t-7)

なのでg(t)はt=\frac{7}{9}で最大値をとります。(図7)

図7


次は翌年2015年の大問4を取り上げてみます。

20分を目安に取り組んでみてください。

問題

(解)

(i)六面体OPPP-PPPPは立方体(図8)

(ii)Pのz座標が正

(iii)

(iv)Pがzx平面にある(⇆P3のy座標は0)

(iv)より とおける。(i)より|\overrightarrow{OP_{3}} |=|\overrightarrow{OP_{1}} |かつ\overrightarrow{OP_{1}}\bullet\overrightarrow{OP_{2}}=0

a^{2}+b^{2}=45かつ2a+4b=0・・・①

でaを消去するとb2=9で(ii)よりb=3

①に代入してaを求めると・・・(ソ)

図8

◯Pについて

とおくと、

 \overrightarrow{OP_{4}}\cdot \overrightarrow{OP_{1}}=0かつ \overrightarrow{OP_{4}}\cdot \overrightarrow{OP_{3}}=0かつ \overrightarrow{OP_{4}}=45

⇔2p + 5q + 4r = 0かつ-6p + 3r = 0かつp+ q+ r= 45

⇔q = -2pかつr = 2pかつp+ q+ r= 45

q,rを消去してpについて解くとp= \pm \sqrt{5} だがr= \pm \sqrt{5} pなのでp= \sqrt{5}

である。よって

・・・(タ)

◯Pについて

・・・(チ)

◯四角形OQQQと六角形Q1Q2Q3Q7Q4Q5について図示すると図9のようになります。

(正方形をある面に投射すると平行四辺形になる。正方形は平行四辺形の中の1つ)

図9

平行四辺形OQ1Q2Q3=5・6=30・・・(ツ)

平行四辺形OQ3Q7Q4=2\sqrt{5}\cdot6=12\sqrt{5}

平行四辺形OQ1Q5Q4=5\sqrt{5}+2\cdot2\sqrt{5}=9\sqrt{5}より

六角形Q1Q2Q3Q7Q4Q5=30+21\sqrt{5}・・・(テ)

◯立方体とz軸の交わりの線分の長さについて

いまz軸は原点を通るxy平面に垂直な直線であり図9から平行四辺形Q6Q5Q4Q7が原点Oを含むから平面PPPPがz軸と交点を持つ。

平面PPPP上の点Xは

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP_{4}}+t\overrightarrow{P_{4}P_{7}}+s\overrightarrow{P_{4}P_{5}}(t,sは任意の実数)

=\overrightarrow{OP_{4}}+t\overrightarrow{OP_{3}}+s\overrightarrow{0P_{1}}

z軸はx=0,y=0なのでs=\frac{2\sqrt{5}}{5},t=\frac{3\sqrt{5}}{5}で交点の座標はで線分の長さは\frac{9\sqrt{5}}{2}・・・(ト)

2017年の入試について

質量ともに易化。どの問題も素直で特に躓くところはないでしょう。

数学が得意な人であれば全て解くことも困難ではないレベル。
数学が苦手な人は差がつけられないように大問①でできるだけ稼ぎ、大問②④は完答、大問③⑤で部分点を稼ぎたいところです。

慶應で頻出の確率漸化をしっかり対策しつつ、計算力を上げるのが合格への一歩といえますね。


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