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【数学】微分とは?

「 \displaystyle\lim_{p \rightarrow q}はpを限りなくqに近づけるということで、p=qではありません。」

 \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} が収束するとき、f(x)はx=aで微分可能であるといいます。ここで、f'(x)= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h-f(a))}{h}と書きます。

また、関数f(x)がx=aで連続であるというのは \displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)が成り立つことです。

なんか難しくて、よくわかんね?と思う方も少なくないでしょうが、イメージ的には

(ⅰ)微分可能→接線がひける

(ⅱ)連続である→つながっている

ということです。

(ⅰ)を少し考えてみましょう。

 \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h - a}

これなんか見覚えありませんか?そう。”直線の傾き”です。

 \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} とは、hをどんどん小さくしていくということですから、図のようにx=aでのf(x)の接線の傾きを求めることに対応します。

つまり、 \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} とは、x=aでのf(x)の接線を求める行為というわけです。

f(x)=x^{3}のとき、f'(x)=3x^{2}となるのはみなさんご存知でしょう。これを微分の定義にしたがって求めてみます。

\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}(3x^{2}+3xh+h^{2})=3x^{2}

となり、確かに一致しますね。

  • 連続出ない例:y=tanx

 

  • 連続だが、微分可能でない例:y=|x|

y=|x-a|はx=aで微分可能ではありません。

x<0で、y=-xなので、

\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{-x-0}{x-0}=-1

x>0で、y=xなので、

\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{x-0}{x-0}=1 で両者は一致しません。

つまり、x=0で、(傾き)=±1で2つ存在するので微分不可能です。
先ほどのf(x)でなめらかというのは、このように尖点が存在しないということです。


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