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【物理】剛体のつり合いと重心(力のモーメントその2)

小山くん
物体にはたらく力がつり合っていれば、物体は動かないんだったよね。
山田さん
大きさのある物体(剛体)について考える時は、力のモーメントもつり合ってないといけないよ。
小山くん
そうか、力のモーメントがつり合っていないと剛体は動いちゃうんだよね。
山田さん
力のモーメントのつり合いについて考えるときは、重心についても考えないといけないね。

剛体が静止しているとき、運動も回転もしていません。よって、剛体にはたらく力のつり合いだけではなく、力のモーメントもつり合っている必要があります。

モーメントとは、剛体を回転させる力です。力のモーメントがつり合っているとき、時計回りのモーメントと反時計回りのモーメントの大きさが等しくなっています。

2つのおもりがつり合っている場合

左右におもりがついた棒が支柱に支えられて静止している状態を考えます。左側のおもりの質量をM、右側のおもりの質量をmとします。棒の質量は考えません。また、支柱から棒の左端までの長さをa、右端までの長さをxとします。このとき、xを求めてみます。

支柱を支点としたとき、右のおもりにはたらく重力によって、棒は時計回りに回転しようとします。また、左のおもりにはたらく重力によって、棒は反時計回りに回転しようとします。この2種類のモーメントがつり合っているので、

mgx=Mga

が成り立ちます。よって、 x=\frac{Ma}{m} となります。

この例では支柱がある位置を支点としました。しかし、モーメントがつり合っている場合はどの地点を支点としてもいいのです。モーメントがつり合っているということは剛体が回転していないので、どこを支点をしてもモーメントはつり合っているのです。

左のおもりを支点として考えます。このとき、右のおもりにはたらく重力により棒は時計回りに回転しようとします。
また、支柱にはたらく抗力Nにより棒は反時計回りに回転しようとします。左のおもりにはたらく重力については、支点からの距離が0なので無視できます。よって、

mg(a+x)=Na

が成り立ちます。ここで、力のつり合いによりN=(m+M)gであるので、

mga+mgx=mga+Mga

が成り立ち、先程と同様に x=\frac{Ma}{m} が求められました。

結果は同じでしたが、この例では支柱を支点とした場合の方が計算が楽になりました。どの点を支点をした場合でも問題を解くことはできますが、多くの力がはたらいている点、および求めるのに手間がかかる力がはたらいている点を支点として考えた方が計算が楽な場合が多いです。

重心について考える

先程の問題では、棒の質量を無視することができました。しかし、棒の質量が無視できない場合もあります。このような場合、剛体のどの部分に重力がはたらいているか分からなければモーメントを求めることができません。このようなとき、剛体の一点に力がはたらいているものと考え、その点を重心と呼びます

物体を構成する質点の質量をm_{1},m_{2}・・・とし、座標を(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})・・・とします。このとき、重心の質量をx_{G}とすると

のようになります。y座標に関しても同様に求められます。

球や直方体の箱のように、対称な物体の場合、重心はその剛体の中心になります。では、不規則な物体についてはどのように求めればいいでしょうか。例として、以下のような物体の重心を求めてみます。

重心の求め方は、基本的には

①物体を分かりやすい形に分割する

②分割した図形の重心と質量を求める

③各重心、各質量を上記の式に代入する

といった手順で求められます。この手順に従って求めてみましょう。

まず、物体を分かりやすい形に分割します。この場合、3×3の正方形と1×1の正方形に分割できます。

次に、それぞれの図形の重心と質量を求めます。3×3の正方形と1×1の正方形の重心は、それぞれ(1.5,1.5),(3.5,0.5)となります。1×1の正方形の質量をmとすると、3×3の正方形の質量は9mとなります。

したがって、求める重心の座標は

x_{G}=(1.5×9m+3.5×m)/(9m+m)=1.7

y_{G}=(1.5×9m+0.5×m)/(9m+m)=1.4

より、(1.7,1.4)となります。

また、物体を4×3、質量12mの長方形と、1×2、質量-2mの長方形に分割する、という考え方もできます。この場合、それぞれの重心は(2,1.5),(3.5,2)となるので、

x_{G}=(2×12m+3.5×(-2m))/(12m-2m)=1.7

y_{G}=(3.5×12m+3×(-2m))/(12m-2m)=1.4

より、同様に(1.7,1.4)となります。


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